Disequazioni e Insiemi Separati

[Jt1995]

Salve a tutti,ho da poco iniziato il corso di analisi 1 e per ora abbiamo affrontato l'argomento degli insiemi separati.Dato che gli esercizi che ci sono stati assegnati contengono delle disequazioni,che non "affronto" da circa 3 anni,vorrei che analizzaste il risultato di due esercizi che vorrei proporvi e aiutarmi nella risoluzione,per capire se ho sbagliato e dove!Innanzitutto nel primo esericizio abbiamo due insiemi A e B.
$
A={x€\R|(3x^3+3x^2+3x)/(x+1) <= 0}
B={x€\R|(x+1)/3x^3+3x^2+3x) >= 0}
$
Risolvendo le disequazioni,partendo dall'insieme A ho considerato numeratore e denominatore a parte e risolti ponendoli >=0,ottenendo per il numeratore risultati: $x>=0 e vera per ogni x € R$,Mentre per il denominatore ho ottenuto $x>-1$;successivamente ho inserito queste soluzioni nella tabella dei segni e ottenendo come intervallo,dato che la disequazioni iniziale aveva <=0 e quindi ho considerato gli intervalli negativi,l'intervallo $]-1,0]$.
Invece per l'insieme B per quanto riguarda il numeratore ho ottenuto $x>=-1,$e per il denominatore $x>0 e sempre vera per ogni x$.Inserendo queste soluzioni nella tabella dei segni,e considerando gli intervalli positivi dato che era >=0,ho ottenuto come intervallo $]-\infty,-1]$ U $]0,+\infty]$;giungendo alla conclusione che gli insiemi non sono separati.

Mentre nel secondo esercizio gli insiemi sono:
$A={x€R|x^3-8>=0}
B={x€R|2/(1-x^2) + 6/(x^4-1) < 1 - 3/(x^2+1)}$
Qui invece,senza tirarle alle lunghe,per quanto riguarda l'insieme A ho ottenuto come soluzione $x>=2$ e quindi l'intervallo è $ [2,+\infty[$ . Mentre per l'insieme B sono arrivato ad ottenere $ (-x^4 + x^2 + 2)/(x^4-1) <0 $
risolvendo la disequazione del numeratore con la scomposizione biquadratica ottenendo come risultato $ x<-\sqrt{2}$ v $x>\sqrt{2} $ in quanto \sqrt{-1} non è una soluzione possibile;invece per il denominatore $x<-1$ $v$ $ x>1$ .Da ciò ho ottenuto l'intervallo $]-\sqrt{2},-1[$ U $]1,\sqrt{2}[$ concludendo che gli insiemi sono separati.
Spero che possiate aiutarmi a capire gli errori che ho commesso e a capire meglio l'argomento,ringrazio l'attenzione

[billyballo2123]

Risolvendo le disequazioni,partendo dall'insieme A ho considerato numeratore e denominatore a parte e risolti ponendoli >=0,ottenendo per il numeratore risultati: $x>=0 e vera per ogni x € R$,Mentre per il denominatore ho ottenuto $x> -1$;successivamente ho inserito queste soluzioni nella tabella dei segni e ottenendo come intervallo,dato che la disequazioni iniziale aveva <=0 e quindi ho considerato gli intervalli negativi,l'intervallo $]-1,0]$.

Fai attenzione: se scrivi x>-1 tra due simboli del dollaro, quello che il compilatore ti scrive è $x>-1$. Per riuscire a scrivere $x> -1$ devi inserire uno spazio tra il simbolo ">" e il simbolo "-".

Invece per l'insieme B per quanto riguarda il numeratore ho ottenuto x≥−1,e per il denominatore x>0esempreveraperognix.Inserendo queste soluzioni nella tabella dei segni,e considerando gli intervalli positivi dato che era >=0,ho ottenuto come intervallo $]−∞,−1] \cup ]0,+∞]$;giungendo alla conclusione che gli insiemi non sono separati.

Immagino tu volessi scrivere $]−∞,−1] \cup [0,+∞[$.
Tra l'altro, il simbolo di unione nel linguaggio latex si scrive con il comando "\cup".
Ripassa bene la definizione di insiemi separati (che è diversa dalla definizione di insiemi disgiunti").

Mentre per l'insieme B sono arrivato ad ottenere $\frac{−x^4+x^2+2}{x^4−1}<0$
risolvendo la disequazione del numeratore con la scomposizione biquadratica ottenendo come risultato $x<−\sqrt{2}$ v $x>\sqrt{2}$ in quanto \sqrt{-1} non è una soluzione possibile;

A dire il vero dovrebbe risultarti $-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$ (infatti se sostituisci $x=0$, ottieni che il numeratore è positivo).