da jitter » 21/03/2015, 16:10
Non so se è la stessa cosa che intendeva Frink, io risolverei così:
la successione è crescente se, per ogni $i$, $ a_(i + 1) = (a_i^2-3)/2 >a_i $, che vale solo se $a_i > 3$ or $a_i < -1$.
1) Se $a_0 > 3$, anche $a_1 > 3$, poiché $a_1 > a_0$ per quanto appena verificato. E quindi, per induzione, $a_(i + 1) > a_i$ per ogni $i$.
2) Se invece $a_0<-1$ la verifica è meno immediata, perché $a_1 > a_0$ (essendo, appunto, $a_0<-1$), ma $a_1$ potrebbe essere compreso fra -1 e 3. Verifichiamo che, invece, non è cosi, ma che anche $a_(i+1) < -1$:
$(a_i^2-3)/2<-1$
$(a_i^2-3+2)/2<0$, vera per ogni $a_i < -1$ (oltre che per $a_i >1$, ma qui non ci interessa).
Quindi, per induzione, se $a_0 < -1$, allora anche $a_1 < -1$ e così via.
Concludo, allora, che la successione è crescente.