Vi propongo il seguente teorema:
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Consideriamo un insieme $\Omega sub CC$ aperto. Sia $f=u+iv : \Omega -> CC$. Sia $z_0=x_0+iy_0$ un punto di $\Omega$. Sono equivalenti:
(1) $f$ è olomorfa in $z_0$
(2) $u$ e $v$ sono funzioni differenziabili in $z_0$ e valgono le condizioni di Cauchy-Riemann (cioè $u_x=v_y$ e $-u_y=v_x$)
(3) $u$ e $v$ sono funzioni differenziabili in $z_0$ e la matrice jacobiana $J_{f}(z_0)$ è $CC$-lineare, dove
$J_{f}(z_0)=((u_{x}(z_0),u_{y}(z_0)),(v_{x}(z_0),v_{y}(z_0)))$ (in questo caso s'intende $z_0=(x_0,y_0)$)
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Questo è il teorema così come è stato fornito dal professore, che ha dimostrato in classe l'equivalenza $(1) iff (2)$. Per quanto riguarda l'altra equivalenza ($(2) iff (3)$) non so bene come procedere.
Ad esempio, per provare che $(2) rArr (3)$, ho considerato la matrice jacobiana $J_{f}(z_0)$, che risulta antisimmetrica per l'ipotesi (2). Per provare la $CC$-linearità ho applicato la definizione di funzione lineare, ma qui mi sfuggono un paio di cose. Primo, il dominio di definizione di $J_{f}(z_0)$, cioè, $J_{f}(z_0): RR^2 -> RR^2$? O no? E, poi, una matrice i cui elementi sono numeri reali, non è sempre $CC$-lineare? (Qualcuno sa fornirmi dei controesempi?) Stando al teorema, ovviamente no, altrimenti mi basterebbe la differenziabilità delle componenti di $f$ per dire che $f$ è olomorfa.
Considerando invece $(3) rArr (2)$, ho pensato di calcolare $J_{f}(z_0)$ in alcuni vettori ad hoc, in modo da ottenere le condizioni di Cauchy-Riemann, ma questa strategia non ha portato da nessuna parte.
Ho provato a consultare il Lang (complex Analysis) e qualche documento online, ma non ho trovato cenni in merito al punto (3) e all'equivalenza $(2) iff (3)$. Qualcuno sa aiutarmi?
Grazie.
