Singolarità e Sviluppo di Laurent

Messaggioda luc.mm » 26/03/2015, 17:07

Ho una serie di domande e curiosità che non riesco a risolvere riguardo questi argomenti.

Prendo un aperto $ A $, una funzione olomorfa sull'aperto $ f $.

$ 1) $ I candidati punti singolari di tale funzione sono solo quelli sulla sua frontiera? Oppure per esempio se la funzione non è definita in un cerchio, interni al cerchio.

$ 2) $ Se ho un segmento di punti singolari (se esiste tale concetto, fin ora ho solo sentito di punti di accumulazione di poli), o un continuo più generale di punti singolari (nel caso la domanda di sopra abbia senso) ne prendo uno a caso come centro e so che posso sviluppare la mia funzione in serie di Laurent in una corona circolare, almeno finchè la funzione è olomorfa in tale corona, (quindi se avessi una curva continua di punti singolari (o un'altra singolarità) devo scavalcarla con la circonferenza interna), questa cosa ha senso oppure vale solo per singolarità isolate? cioè devo richiedere che la funzione sia olomorfa in un intorno della singolarità salvo al più essa stessa, per svilupparla in serie di Laurent?

$ 3) $ se ho una coppia di singolarità isolate, per rappresentare tutti i punti di una funzione altrimenti intera, è giusto dire che ho bisogno di sei sviluppi? Quattro di Laurent più due di Taylor per quei due punti che non riesco a includere che si trovano come intersezione delle circonferenze centrate nelle singolarità e di raggio pari alla loro distanza.
luc.mm
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Re: Singolarità e Sviluppo di Laurent

Messaggioda Newdementia » 26/03/2015, 23:25

Cerco di rispondere, ma molto orientativamente, alle tue domande.

1) Se la funzione $f$ è olomorfa in tutto l'aperto $A$, è analitica e quindi sviluppabile in serie di Taylor, perciò all'interno dell'aperto non può avere singolarità (poli o singolarità essenziali) a meno di singolarità eliminabili, direi. Cosa vuoi intendere esattamente per funzione non definita in un cerchio? Definita nel cerchio tranne qualche punto?

2) Neanche io mai sentito esempi di funzioni il cui insieme di poli è più che numerabile. A parte questo, vediamo se ho capito bene il quesito. Tu presupponi un segmento continuo di poli, e lo inglobi nel cerchio più piccolo per poi costruirci intorno una corona circolare nella quale supponi che la tua funzione $f$ sia olomorfa. Allora, scelto un polo su quel segmento, ti chiedi se la $f$ è sviluppabile in serie di Laurent. Anche qui la risposta è affermativa, non vedo il motivo per il quale la presenza di altri poli dovrebbe perturbare la dimostrazione dello sviluppo in serie di Laurent. Se invece ti chiedi se posso svilupparla in serie prendendo come centro una singolarità e un disco o corona circolare nel quale ci sono altre singolarità, allora direi di no, perché la condizione di olomorfismo nella corona circolare è indispensabile nella dimostrazione di sviluppabilità in serie di Laurent.

3) Non ho ben inteso la domanda. Se le singolarità sono solo due, perché ho quattro sviluppi di Laurent?
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Re: Singolarità e Sviluppo di Laurent

Messaggioda luc.mm » 27/03/2015, 00:10

Grazie mille, dunque la $ 2) $ mi è più chiara ora che mi sto cimentando con un pò di pratica, grazie. Per quanto riguarda la $ 1) $ non intendo un aperto connesso, o semplicemente connesso, intendo proprio un aperto generico che può anche avere dei buchi o essere fatto di più pezzi. Se pensi a una funzione non definita per $ |z|=<1 $ ma definita altrimenti su tutto il piano, mi chiedevo se i punti singolari sono solo per definizione cercabili tra quelli sulla frontiera, oppure per esempio anche l'origine in questo caso, che è ben lontana dalla frontiera dell'aperto (questo si ricollega al concetto di un continuo di punti singolari, se esiste ovviamente).

$ 3) $ Per quanto ho capito lo sviluppo di Laurent lo puoi fare ovunque esista una corona circolare in cui $ f $ è olomorfa, se ho per esempio una coppia di poli semplici, e voglio prendere con meno sviluppi possibili tutti i punti del dominio della funzione originale tramite sviluppi in serie di potenze devo scegliere dove sviluppare la funzione.

Prendiamo $ -1,+1 $ come singolarità e a parte lì, la funzione è olomorfa ovunque, se sviluppo in $ 0 $, ottengo due diverse zone, in cui ho due differenti sviluppi, il primo è di Taylor ma si arresta quando incontra la prima singolarità e l'altro è fatto su una corona circolare che ha cerchio interno che "scavalca" entrambe le singolarità e esterno che va all'infinito. Quello che intendo è che non ho ancora niente per i punti sulla circonferenza di raggio uno e centro nell'origine, a meno che sia in grado di valutare la convergenza sul bordo della circonferenza. Per cui devo cercare altri sviluppi centrati da qualche altra parte che mi inglobino i punti sulla circonferenza.

Comunque capisco che sono cose un pò strane chiedere.
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Re: Singolarità e Sviluppo di Laurent

Messaggioda Newdementia » 27/03/2015, 14:36

Uhm, vedendo bene tra i miei appunti, le singolarità di una funzione $f$ (poli, essenziali o eliminabili) sono, per definizione, singolarità isolate, ovvero tali che la funzione $f$ sia olomorfa in un intorno "bucato" centrato proprio nella singolarità.
Stando a questa definizione, non avrebbe quindi senso parlare di singolarità che si dispongono in maniera continua su di un segmento, ad esempio, perché in questo caso non si riuscirebbe a trovare un intorno "bucato" nel quale la funzione sia olomorfa, e dunque verrebbe meno la definizione di singolarità.

Per come mi è stato proposto il teorema di sviluppabilità in serie di Laurent, il centro $z_0$ della corona circolare rispetto al quale avviene lo sviluppo, non è per ipotesi una singolarità... lo diventa dopo, quando si introducono gli intorni "bucati" a cui è possibile applicare il teorema di sviluppabilità di Laurent.

Per la 3), sì, hai ragione. In pratica vuoi "partizionare" gli sviluppi della funzione. Ma questa è una tua curiosità o è finalizzato a un esercizio preciso? Inizio a chiedermi anche io come si possa fare... :smt095
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Re: Singolarità e Sviluppo di Laurent

Messaggioda luc.mm » 27/03/2015, 15:30

A me le singolarità le hanno vendute in questo modo: sono punti $ z_0 $ della frontiera di $ f $
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
(che qui assumo definita su un aperto $ A $ a caso, cosa accade nel complementare è totalmente irrilevante, cioè io ti posso dare la funzione $ f(z)=z $ e dirti che per $ |z|<=1 $ non è definita, e se la calcoli lì, facendo il furbo perchè sai che è olomorfa e continua, esplode il mondo)
per cui non esiste nessun punto interno $ z $ di $ A $ tale che, sviluppata la funzione $ f $ in serie di Taylor (che si può fare per il teorema di Weierstrass) nell'intorno di tale punto (che ha raggio sempre positivo essendo $ z $ interno), questa serie di Taylor ha cerchio di convergenza massimale che internamente contiene $ z_0 $.

Quindi ci sono punti della frontiera regolari, (tipo quelli della funzione che ho appena definito) e punti della frontiera singolari irrangiungibili dai dischi di convergenza massimali degli sviluppi di Taylor di $ f $ nei punti interni ad $ A $

La prima domanda che mi sono fatto era appunto, bene ma dei punti che non appartengono ad $ A $ o alla sua frontiera che me ne faccio? Diciamo che li mettiamo da parte.

Le singolarità poi mi sono state classificate come isolate e non (vedi punti di accumulazione di poli) per quelle isolate ci sono tanti discorsi da fare ma in generale non ci sono grandi problemi per sviluppare secondo Laurent. Per le altre siccome ogni loro intorno possiede altre singolarità come dovrei fare?

E qui appunto, immaginando essenzialemente due categorie, i punti di accumulazione di poli e i segmenti (o continui limitati) di singolarità mi sono chiesto come fare, e in sostanza mi sembra logico che se trovi una corona circolare dove la funzione è olomorfa indipendentemente dal tipo di punto che usi come centro (quindi, regolare, singolare isolato, o non isolato, ma anche un punto che è interno al complementare di $ A $ a questo punto) puoi sviluppare secondo Laurent.

L'ultima cosa è più una curiosità in realtà: dato che a mio avviso il senso di sviluppare le funzioni come Serie, è praticamente allo scopo di renderle più facilmente trattabili, mi pareva sensato chiedersi come ottimizzare la quantità di sviluppi che bisogna fare per avere indietro tutto il dominio.

Sono cose molto artificiose e magari inutili ovviamente, però nulla vieta di farsi queste domande! Grazie della risposta.
luc.mm
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Re: Singolarità e Sviluppo di Laurent

Messaggioda Newdementia » 27/03/2015, 18:34

Ho capito.
Nel mio corso purtroppo abbiamo sempre posto l'attenzione sulle singolarità isolate. Che tristezza.

E qui appunto, immaginando essenzialmente due categorie, i punti di accumulazione di poli e i segmenti (o continui limitati) di singolarità mi sono chiesto come fare, e in sostanza mi sembra logico che se trovi una corona circolare dove la funzione è olomorfa indipendentemente dal tipo di punto che usi come centro (quindi, regolare, singolare isolato, o non isolato, ma anche un punto che è interno al complementare di A a questo punto) puoi sviluppare secondo Laurent.


Qui è ok. Come dicevo nel mio primo intervento, nella dimostrazione dello sviluppo di Laurent non si fa riferimento a cosa possa accadere all'interno del primo cerchio della corona circolare, quindi la penso come te.

L'ottimizzazione degli sviluppi è una questione interessante, infatti, ma qui non saprei come aiutarti :smt012
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Re: Singolarità e Sviluppo di Laurent

Messaggioda luc.mm » 27/03/2015, 20:14

Grazie della conversazione mi serviva un confronto! Magari quando finisco l'argomento riuscirò a trovare risposta.
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