Integrali Immediati 4 esercizi

[guardiax]

Salve ho preso da un libro di analisi 2 degli eesercizi per allenarsi con gli integrali immediati e solo 4 non sono riuscito a risolvere...

PRIMO
$int cos 3xcosx dx $


SECONDO

$int (cosx-cos^3x)/(1-cosx) dx $

TERZO
$int (1-sin^2x)(cos^2x+1)/(cos^2x) dx $ Qui lo so che $(1-sin^2x)$ è uguale a $cos^2x$ comunque non riesco ad andare avanti...

QUARTO

$int (2x)/(x^4+2x^2+2) dx $


chi mi aiuta?? vi chiedo solo di non usare altri metodi(sostituzione,per parti) perchè questi sono immediati e vorrei capire come ci si arriva così...

[gugo82]

Idee tue?

[guardiax]

Al PRIMO

$ cos3x $ posso scriverlo come $cos(2x+x)$ e con le regole di bisezione o come si chiamano lo scompongo ma cmq dopo mi blocco....

Al SECONDO

metto in evidenzia al numeratore $cos x$ e mi esce $(1-cos^2x)cosx$ ma $1-cos^2x$ si può scrivere anche $(1-cosx)(1+cosx)$ si semplifica col denominatore ma cmq mi blocco

Al TERZO

come ho detto $1-sen^2x = cos^2$ lo semplifico col denominatore ma poi mi blocco....

Al QUARTO

ho visto il risultato sul libro e sembra che sia un arcotan dunque si deve solo comprimere il denominatore ma non vedo come fare.....

[***]

Per esempio nel quarto puoi usare la scomposizione di Hermite per risolvere l'integrale.

[gugo82]

Al PRIMO

$ cos3x $ posso scriverlo come $cos(2x+x)$ e con le regole di bisezione o come si chiamano lo scompongo ma cmq dopo mi blocco....

Meglio usare le formule di prostaferesi.

Al SECONDO

metto in evidenzia al numeratore $cos x$ e mi esce $(1-cos^2x)cosx$ ma $1-cos^2x$ si può scrivere anche $(1-cosx)(1+cosx)$ si semplifica col denominatore ma cmq mi blocco

Dunque:
\[
\begin{split}
\int \frac{\cos x - \cos^2 x}{1-\cos x}\ \text{d} x &= \int \frac{\cos x\ \cancel{(1-\cos x)}}{\cancel{1-\cos x}}\ \text{d} x\\
&= \int \cos x\ \text{d}x
\end{split}
\]
che non mi pare complicato...

Al TERZO

come ho detto $1-sen^2x = cos^2$ lo semplifico col denominatore ma poi mi blocco....

Dunque:
\[
\begin{split}
\int (1-\sin^2 x)\ \frac{\cos^2 x +1}{cos^2 x}\ \text{d} x &= \int (1+\cos^2 x)\ \text{d} x
\end{split}
\]
con l'ultimo integrale che si calcola per parti.

Al QUARTO

ho visto il risultato sul libro e sembra che sia un arcotan dunque si deve solo comprimere il denominatore ma non vedo come fare.....

Beh, \(2x\) è la derivata di \(x^2\) e tutto il denominatore è una funzione di \(x^2\).

[guardiax]

al secondo ho sbagliato al traccia invece di $cos^2x$ e $cos^3x$ per questo mi blocco non esce quello che hai scritto... al quarto non so cosa sia hermite ... nel terzo arrivato lì non ce qualche integrale immediato da utilizzare invece che per parti!?!?

[luc.mm]

Allora ti do una mano, in modo interattivo, prendiamo il secondo integrale.

Come dovresti approcciare:

$1) $ Ci vedi dentro, delle funzioni circolari quindi, tieniti a portata di mano le formule per le funzioni circolari. In questo ti servono la formula di duplicazione del coseno (se ancora non vuoi risolvere $ int (cosx)^2dx $ per parti) e la relazione fondamentale tra seno e coseno.

$2)$ E' un rapporto di funzioni, quindi speri in qualche modo di semplificare.

$3)$ Devi ricordarti i prodotti notevoli, ti consiglio di leggere qui http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_notevole e studiarti quelli più facili da ricordare, finchè non arrivi alla regola generale, in questo integrale devi usare questo $ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $

$4)$ Devi esercitarti a raccogliere i fattori comuni in una somma di termini: in questo caso hai una situazione del tipo $ a-a^3=a(1-a^2) $

Non sono in ordine questi passi, devono essere applicati tutti fino a quando non arrivi a somme di integrali immediati. Se hai gli strumenti provali prima di bloccarti.

[guardiax]

forse non ci siamo capiti.... al secondo ho gia scritto che ho usato le regole di trigonometria e del somma per differenza e arrivo in un punto di stallo...

[luc.mm]

Bene allora suppongo che lo stallo sia qui:$ int cosx(1-cosx)dx$ beh l'integrale è lineare quindi l'integrale della somma è la somma degli integrali (se era qui lo stallo, consiglierei di rileggere per bene il capitolo sugli integrali, prima di farne altri perchè non avresti capito le proprietà basilari).

Per cui devi calcolare $int cosxdx$, che è elementare, e ancora se non lo sai, rileggeti il testo.

E $ int -(cosx)^2=-int (cosx)^2 $ (anche qui vedi sopra è la linearità).

Se la roba sopra non ti ha dato problemi presumo che lo stallo sia qui: $ int (cosx)^2 $ ma fin qui non dovevi usare formule trigonometriche quindi chiaramente visto che hai detto che le hai usate lo stallo non è qui. Quindi presumo tu abbia fatto questo passo avendo ben note le due formule che ti ho citato al passo $ 1)$ ovvero $cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2 $ e $(cosx)^2 + (sinx)^2=1 $ se hai idea di come maneggiare le equazioni (altrimenti fare gli integrali mi sembra un pò difficile perchè devi pasticciare parecchio) scopri che $ int (cosx)^2dx=int(cos(2x)+1)/2dx$.

Quindi a questo punti, o non sai integrare $1/2int cos2xdx $ o non sai integrale $ 1/2intdx $ la seconda la vedo dura a non saperla, la prima si integra chiedendosi se puoi moltiplicare e dividere per la derivata dell'argomento del coseno in modo da avere la formula $int f'(x)g'(f(x))dx=g(f(x))$ ovvero $ 1/2*1/2*int 2cos(2x)dx=1/4*sin2x $. Ovviamente se non sei d'accordo deriva per controllare.

Adesso che abbiamo svolto spiegami bene dove fosse lo stallo, così ti rendi conto dove sbagli o dove non sai?

[guardiax]

Allora tu più o meno ti sei spiegato bene ma arrivato qua:

$int ((1-cosx)(1+cosx)cosx)/(1-cosx) dx $

semplifico e mi rimane:

$int (1+cosx)cosx dx $ mi esce $1+cosx$ e non come te $1-cosx$

poi il mio stallo sta qua divido in due integrali...

$int cosx dx + int cos^2x dx $

il primo integrale e semplice il secondo come lo faccio?? da quello che hai scritto non mi è chairo come ti è uscito $ int (cosx)^2dx=int(cos(2x)+1)/2dx$. il risultato è

$[1/2sinxcosx+sinx+x/2+c]$