Conferma sulla correttezza del mio svolgimento di questo esercizio di analisi funzionale

[glooo]

Siano $X$ e $Y$ due spazi normati con $X$ riflessivo e sia $T:X\rightarrow Y$ un operatore lineare tale che
$\lim_{n\to\infty}x_n=0_X$implica $\lim_{n\to\infty}T(x_n)=0_Y$. Provare che $T$ è limitato

Ho pensato di procedere così.

Per ipotesi ho che l'operatore $T$ è continuo in $0$.

Suppongo per assurdo che $T$ non sia limitato, allora esiste una successione $\{ x_n\}$ tale che $\| x_n\| \leq 1$ per cui
$\|Tx_n\|\ge n$ per ogni $n\in \mathbb{N}$.
Allora ho che
\begin{equation}
\|T(\frac{x_n}{n})\|\ge 1 \quad \forall n.
\end{equation}


Risulta dunque che $$\lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{n}=0$$ e dunque per ipotesi $$\lim_{n\to \infty} T(\frac{x_n}{n})=0,$$ che è una contraddizione.

Va bene la mia soluzione? A cosa serve l'ipotei che $X$ sia riflessivo?

[gugo82]

Mi pare giusto.

D'altra parte, questo è un fatto del tutto generale che non dipende dalla riflessività di \(X\): infatti, per ogni applicazione lineare tra spazi normati sono equivalenti la limitatezza, la continuità ovunque e la continuità solo nello zero.

[glooo]

Grazie mille!!!