Stavo seguendo dei passaggi per trovare l'equazione funzionale della $zeta$ di Riemann, ma mi sono bloccato su alcuni passaggi.
L'idea è quella di definirla usando la funzione $Gamma$ di Eulero che è analitica su tutto $C$ tranne gli interi negativi.
Scrivo ($s=sigma+ieta)$
$Gamma(s/2)=int_o^prope^(-t)t^(s/2-1)dt$ con $(sigma>0)$
Posto $t=n^2pix$
$pi^(-s/2)Gamma(s/2)n^(-s)=int_0^propx^(s/2-1)e^(-n^2pix)dx$
Per $(sigma>1)$
$pi^(-s/2)Gamma(s/2)n^(-s)=int_0^propx^(s/2-1)(Sigma_(n=1)^prope^(-n^2pix))dx=int_0^propx^(s/2-1)((theta(x))/2-1/2)dx$
dove $theta(x)=Sigma_(n=-prop)^prope^(-n^2pix)$ è la funzione Theta di Jacobi
Dopodiché mi dice (e questo lo prendo per buono) che la sua equazione funzionale è
$x^(1/2)theta(x)=theta(x^(-1))$
Quindi arriva a questa espressione che non capisco come ottiene:
$zeta(s)=pi^(s/2)/(Gamma(s/2))[1/(s(s-1))+int_1^prop(x^(s/2-1)+x^(-s/2-1/2))*((theta(x))/2-1/2)dx]$
Ho pensato che avesse integrato la parte da $0$ ad $1$ e lasciato il resto sotto il segno di integrale, tuttavia vedo l'argomento dell'integrale è differente. Immagino altrimenti che abbia usato l'equazione funzionale della $theta$ (avendola scritta), ma non capisco in che modo.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie