Esempio di palle aperte un po' "esotiche"

[DavideGenova]

Ciao amici! Sto cercando un esempio di spazio metrico, che dovrebbe esistere perché è un esercizietto del Kolmogorov-Fomin, in cui i raggi di due palle aperte soddisfano la disuguaglianza $\rho_1>\rho_2$, ma "nonostante" ciò \(B(x,\rho_1)\subset B(y,\rho_2)\). Ho pensato a tutte le metriche con cui ho familiarità su $\mathbb{R}^2$, ma non mi pare che si possa soddisfare in essere quanto voluto...
Qualcuno ho qualche idea? Suppongo che ci sia qualche esempio più o meno standard...
Grazie a tutti!!!

[yuri.isacchi]

Ciao!!! Puoi prendere come spazio metrico l'intervallo $(-1,1)$ con la distanza euclidea, e poi porre $x=0.9$, $\rho_1=1.1$, $y=0$ e $\rho_2=1$.

Se come spazio metrico ti serve un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$, puoi prendere $(-1,1)\times(-1,1)$ con la distanza indotta dalla norma $||\cdot ||_{\infty}$, e poi porre $x=(0,0.9)$, $\rho_1=1.1$, $y=(0,0)$ e $\rho_2=1$.

[DavideGenova]

Che babbeo a non averci pensato... Grazie di cuore!!!

[Isaac888]

Ciao!!! Puoi prendere come spazio metrico l'intervallo $(-1,1)$ con la distanza euclidea, e poi porre $x=0.9$, $\rho_1=1.1$, $y=0$ e $\rho_2=1$.

Se come spazio metrico ti serve un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$, puoi prendere $(-1,1)\times(-1,1)$ con la distanza indotta dalla norma $||\cdot ||_{\infty}$, e poi porre $x=(0,0.9)$, $\rho_1=1.1$, $y=(0,0)$ e $\rho_2=1$.

No, io non ho capito... Serve anche a me questa cosa, che peraltro si trova sul Manetti a pagina 52 (es: 3.32).
Da quello che dici non risulta $B(x,\rho_1)\subset B(y,\rho_2)$.
So che è un vecchio posto, ma qualcuno mi faccia sapere per favore! Grazie in anticipo.

[gugo82]

Se fai un disegnino ti apparirà tutto più chiaro.

[Isaac888]

Se fai un disegnino ti apparirà tutto più chiaro.

Ho fatto il disegnino, eppure io vedo che le due palle così ottenute si intersecano, ma per esempio il punto $-0.9$ non è contenuto in $B(y,1)$. Quindi non sono una contenuta nell'altra.

PS: Oltretutto, sul Manetti, a pagina 52, esercizio 3.32, chiede di dimostrare che in uno spazio metrico una palla aperta di raggio 1 non può contenere propriamente una palla aperta di raggio 2, (quindi suppongo valga per raggi maggior di 1).

[Isaac888]

Ahhhh.... Forse ho capito! Intendete tutto il discorso del contenimento con la topologia di sottospazio su $]-1,1[$?
Cioè la palla con raggio più piccolo contiene quella con raggio più grande intese come palle nella topologia indotta (in cui non sono necessariamente "circolari") vero?...

Comunque per chi fosse interessato come me, e non avesse problemi con l'inglese, segnalo questa pagina:
http://math.stackexchange.com/questions ... ntains-the

Sono sicuro che lo troverete utile.

PS: Ho capito l'idea dell'esercizio suddetto del Manetti per chi fosse interessato. Si riesce sempre a trovare, con l'idea esposta dagli utenti sopra (con la topologia indotta), una palla di raggio più grande, contenuta in una di raggio più piccolo, a patto che il raggio più grande sia minore del diametro più piccolo. Nella fattispecie non si riesce a trovare una palla di raggio 1 che contenga una di raggio 2, ma si riesce a trovarne una di raggio 2 che contiene una di raggio 3 (perchè il diametro associato al raggio minore è 4).