Base ortonormale in \(\displaystyle l^2 \) è chiusa

[EdmondDantès]

Vorrei dimostrare il seguente fatto, ma non ci sono riuscito:
Nello spazio \(\displaystyle l^2 \) delle successioni reali a quadrato sommabile, la base ortonormale \(\displaystyle E = \{e_k\} _{k \geq 1}\), dove \(\displaystyle e_1 = \{1,0,...0,...\} \), \(\displaystyle e_2 = \{0,1,0,...0,...\} \), ecc..., non ha punti di accumulazione ed è quindi un insieme chiuso.

Io ho provato a impostare la dimostrazione per assurdo:
Esista \(\displaystyle x \in l^2 \) tale che \(\displaystyle \forall \varepsilon >0 \), \(\displaystyle \exists n \in \mathbb{N} \) t.c. \(\displaystyle \|x-e_n\|<\varepsilon \) e \(\displaystyle e_n \neq x \)
ma questo significa che \(\displaystyle \|x-e_n\|^2 = \|x\|^2 +1-2 x_n<\varepsilon^2 \) e quindi, minorando il termine a sinistra,
\(\displaystyle x_{n}^{2} +1-2 x_n = (x_n -1)^2<\varepsilon^2 \Rightarrow |x_n -1|<\varepsilon \).
Giunto a questo punto, come posso trovare l'assurdo?

Grazie in anticipo,
Ciao

Nota: Ho trovato che il risultato vale più in generale, cioè se E è una base ortonormale in uno spazio di Hilbert H a dimensione infinita, allora E è chiuso e limitato ma non compatto. Tuttavia, anche di questo fatto non ho trovato la dimostrazione...

[Steven]

Nel tuo caso puoi osservare che se $x$ e' il punto di accumulazione, e quindi $||x-e_n|| \to 0$, siccome la convergenza per norma implica la convergenza di ogni coordinata, necessariamente ogni coordinata di $x$ e' zero perche' tende alla rispettiva coordinata di $e_n$, che e' zero definitivamente. Quindi l'unico candidato possibile e' il vettore nullo $x=(0,0,...)$. Ma questo contraddice il fatto che $||x-e_n|| \to 0$ poiche' $||x-e_n||=||e_n||=1$ che non tende a zero.

Ciao!

[EdmondDantès]

Grazie!
Credo comunque di aver trovato anche un altro modo per mostrarlo: ho fatto vedere che la successione data non può essere di Cauchy, e quindi non lo è nemmeno nessuna sua sottosuccessione, di conseguenza è impossibile che esista un punto di accumulazione per la successione perché se ci fosse dovrebbe esistere una sottosuccessione convergente a tale punto, ma allora questa sottosuccessione sarebbe di Cauchy, che è assurdo.