Limiti

[Jt1995]

Salve a tutti,ho fatto una serie di limiti e ci sono degli esercizi che non ho capito come svolgere.
1) $ lim $ di $ x->1$ di $(e^x-e)/(x^2-x)$ Per questo esercizio non ho proprio idea di come andare avanti..ho cercato di ritrovare un limite notevole ma non ci sono riuscito..
2) $ lim $ di $ x->0+$ di $arcsin(xsin(1/x))$ qui inizialmente ho cercato di risolvere attraverso il limite notevole dell'arcoseno,ma mi rimane comunque $sin(1/x)$ di cui non esiste il limite
3) $ lim $ di $ x->0$ di $(\sqrt[3]{1+x} -1)/((1+sinx)^3-1)$ qui ho inizialmente risolto il limite notevole del seno e ho cercato di raccogliere per 1+x ma non riesco a risolvere..(radice terza)

[Jt1995]

Dunque, vediamo un po'...

1. \( \begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{e^x - e}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{e\,\left(e^{x-1} - 1\right)}{x\,(x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{e}{x} \; \cdot \; \lim_{x \to 1} \frac{e^{x-1} - 1}{x - 1} = e\,\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = e \; ; \end{aligned} \)

2. \( \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \arcsin\left(x\,\sin\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin\left(x\,\sin\frac{1}{x}\right)}{x\,\sin\frac{1}{x}} \; \cdot \; \lim_{x \to 0} x\,\sin\frac{1}{x} = 1\,\lim_{x \to 0} x\,\sin\frac{1}{x} = 0 \; ; \end{aligned} \)

3. \( \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{3}} - 1}{(1 + \sin x)^3 - 1} & = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{3}} - 1}{x} \; \cdot \; \lim_{x \to 0} \frac{x}{(1 + \sin x)^3 - 1} \\ & = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{(1 + \sin x)^3 - 1} \\ & = \frac{1}{3}\cdot 1 \lim_{t \to 0} \frac{t}{(1 + t)^3 - 1} \\ & = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \\ & = \frac{1}{9} \; . \end{aligned} \)

Spero sia sufficientemente chiaro.

Nel secondo limite..qual'è il passaggio finale in $x sin(1/x)$ ?

[Jt1995]

Nel secondo limite qual è il passaggio finale in $x sin(1/x)$ ?

Per \(x \to 0\) il primo fattore tende a \(0\) mentre il secondo a "qualcosa"
compreso tra \(-1\) e \(+1\); globalmente, quindi, il limite porta a \(0\).

Se avessi avuto solo $sin(1/x)$,non è possibile calcolare limite o sbaglio? Per $x->0 1/x$ vale infinito giusto?

[Jt1995]

Se avessi avuto solo $sin(1/x)$, non è possibile calcolare limite o sbaglio?

Non sbagli. Più precisamente, per il teorema di unicità del limite, \(\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x} \; \Rightarrow \; \not\exists \end{aligned}\) in quanto è sufficiente
considerare due distinte successioni e ottenere due risultati differenti (in disaccordo con detto teorema).

Per $ x->0 1/x $ vale infinito giusto?

No. Infatti, sempre per il sopracitato teorema, \(\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \; \Rightarrow \; \not\exists \end{aligned}\); se ti "avvicini" a \(0\) da sinistra ottieni \(-\infty\), mentre
se ti "avvicini" a \(0\) da destra ottieni \(+\infty\). Per tal motivo, occorre declinare i seguenti due casi: \(\begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\end{aligned}\) e \(\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\end{aligned}\).

Ok?

e quindi moltiplicare 0 per $ x->0 sin(1/x)$,valore "non esistente", da 0?

[Jt1995]

e quindi moltiplicare 0 per in $sin(1/x)$,valore "non esistente", da 0?

Un conto è considerare \(\begin{aligned}\lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x} \end{aligned}\) che per il teorema di unicità del limite è dimostrabile non esistere, un altro conto è considerare \(\begin{aligned}\lim_{x \to 0} x\,\sin\frac{1}{x} \end{aligned}\) che porta banalmente a \(0\) in quanto, a prescindere dal fatto che il secondo fattore "fluttui" nell'intervallo \([-1,\,1]\), il primo fa sì che il limite porti sempre a \(0\) (in accordo con detto teorema).

Ho capito,grazie mille Qualche giorno fa ho inserito un altro topic con titolo "Esercizi su funzioni" e non ho avuto risposta..sapresti aiutarmi? Sempre nella categoria analisi,grazie mille ancora