Trovare theta in coordinate polari su integrale doppio.

[Escher]

Ciao a tutti, devo risolvere il seguente esercizio:

\(\displaystyle \iint_{D} x\sqrt[3]{x^{2} +y^{2}} dxdy \) Dove \(\displaystyle D = (x-1)^{2} +y^{2} \leq 1 ; x^{2} + (y-1)^{2} \leq 1 \)

Faccio il disegno di due circonferenze: Una centrata in (1,0) e raggio = 1 e l'altra centrata in (0,1) e raggio = 1. Trovo D che è la parte in comune tra le due circonferenze.

Ora penso di semplicare l'integrale se divido in due il dominio D attraverso la retta \(\displaystyle y = x \). Quindi avrò:
\(\displaystyle 2\iint_{D'} x\sqrt[3]{x^{2} +y^{2}} dxdy \) Dove \(\displaystyle D' \) è la parte di dominio compresa tra la retta \(\displaystyle y = x \) e la circonferenza \(\displaystyle x^{2} + (y-1)^{2} \leq 1\).

Decido di procedere in coordinate polari.
Sempre per semplificarmi il calcolo dell'integrale , noto che la funzione da integrare forse sarebbe più semplice se utilizzassi le coordinate polari con il polo centrato nell'origine. Quindi:

\(\displaystyle \begin{cases} x = \rho \cos(\theta) \\ y = \rho \sin(\theta) \end{cases} \)

Procedo nel calcolare \(\displaystyle \rho \):

Sostituisco le coordinate polari alla circonferenza \(\displaystyle x^{2} + (y-1)^{2} = 1 \) e trovo: \(\displaystyle 0 \leq \rho \leq 2\sin(\theta) \)

Ma devo dire anche quando \(\displaystyle \sin(\theta) \geq 0 \) e questo succede nel 1° e 2° quadrante , quindi dico che \(\displaystyle \theta \in [0,\pi] \).

L'esercizio l'ho preso da un libro dove c'è una minima soluzione in cui invece \(\displaystyle \theta \in [0;\frac{\pi}{4}] \). Mi rendo conto che \(\displaystyle \theta \) , in teoria, è l'angolo che comprende il dominio e quindi in qualche modo deve prendere il coefficiente angolare della retta \(\displaystyle y = x \) che è \(\displaystyle \frac{\pi}{4} \) , ma non so come capirlo nel momento in cui traslo un dominio.

Ho fatto una simile domanda qui: viewtopic.php?f=36&t=145418
E infatti penso di aver svolto lo stesso procedimento ma non è servito a quanto pare.

Forse non ho capito bene come trovare \(\displaystyle \theta \) universalmente, cioè sia se traslo che non. Se non traslo mi affido sempre al disegno ma se traslo non so bene come poi verrà la figura quindi trovo \(\displaystyle \theta \) algebricamente ma sbaglio comunque alcune volte.

Sapreste darmi un suggerimento?


Grazie delle eventuali risposte.

[Escher]

Grazie della risposta.

Spero sia sufficientemente chiaro.

In realtà non molto. Spiego il perchè:

Quando scrivi:

\(\displaystyle \begin{cases} \rho \ge 0 \\ 0 \le \theta < 2\pi \\ (\rho\,\cos\theta - 1)^2 + (\rho\,\sin\theta)^2 \le 1 \\ (\rho\,\cos\theta)^2 + (\rho\,\sin\theta - 1)^2 \le 1 \end{cases} \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \begin{cases} 0 \le \theta \le \frac{\pi}{4} \\ 0 \le \rho \le 2\,\sin\theta \end{cases} \; \cup \; \begin{cases} \frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{2} \\ 0 \le \rho \le 2\,\cos\theta \end{cases} \)

Io so che dalla disequazione: \(\displaystyle (\rho \cos(\theta) -1)^{2} + (\rho \sin(\theta))^{2} \leq 1 \) ottengo: \(\displaystyle 0 \leq \rho \leq 2\cos(\theta) \) e so che \(\displaystyle \cos(\theta) \geq 0 \) nel 1° e 4° quadrante , quindi tra \(\displaystyle \frac{-\pi}{2}\ e\ \frac{\pi}{2} \).

Quindi \(\displaystyle \begin{cases} 0 \leq \rho \leq 2\cos(\theta) \\ \frac{-\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\end{cases} \).

Mentre dalla disequezione: \(\displaystyle (\rho \cos(\theta))^{2} + (\rho \sin(\theta) -1)^{2} \leq 1 \) ottengo: \(\displaystyle 0 \leq \rho \leq 2\sin(\theta) \) e so che \(\displaystyle \sin(\theta) \geq 0 \) nel 1° e nel 2° qudrante , quindi tra \(\displaystyle 0\ e\ \pi \).

Quindi: \(\displaystyle \begin{cases} 0 \leq \rho \leq 2\sin(\theta) \\ 0 \leq \theta \leq \pi\end{cases} \)

Invece tu scrivi che quando \(\displaystyle 0 \leq \rho \leq 2\cos(\theta) \) allora \(\displaystyle \theta \) varia tra \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\ e\ \frac{\pi}{2} \), e quando \(\displaystyle 0 \leq \rho \leq 2\sin(\theta) \) allora \(\displaystyle \theta \) varia tra \(\displaystyle 0\ e\ \frac{\pi}{4} \). Non riesco a capire come li trovi. Riesco solo a notare che disegnando la circonferenza goniometrica, la parte in comune tra \(\displaystyle 0 \leq \rho \leq 2\cos(\theta) \) e \(\displaystyle 0 \leq \rho \leq 2\sin(\theta) \) è il 1° quadrante e quindi \(\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \).

Forse c'è qualche errore di calcolo per il risultato che è sbagliato, ma non mi interessa, mi interessa il procedimento che hai adottato.
Ps: Il risultato dovrebbe essere: \(\displaystyle \frac{18}{77} \sqrt[3]{2} \approx 0.2945\)


Grazie mille!

[Escher]

Scusa del ritardo della risposta ma non ero a casa e non avevo il computer.
Ho capito, grazie mille! Sono riuscito a capire gli intervalli, ora basta fare i calcoli.

Ps: Scusatemi , avevo sbagliato a scrivere la funzione iniziale, è una radice terza non quadrata.

Grazie ancora!