Trasformata di Fourier della derivata di una funzione

[Mitch137]

Ciao a tutti. Come da titolo, mi servirebbe una mano con la dimostrazione del seguente teorema:
Sia $u \in C^1(\mathbb{R}^n)\cap L^1(\mathbb{R}^n)$ e $t\in \mathbb{R}^n$ un versore. Se $\partial_{t}u\in L^1(\mathbb{R}^n)$ e $u(x)=o(| x|^{1-n})$ per $|x| \rightarrow \infty$, allora:
$\mathcal{F}(\partial_{t}u)(y)=i(y\cdot t)\hat{u}(y)$
dove $\partial_t u$ è la derivata direzionale di $u$ in direzione $t$

Da quello che mi pare di aver capito, per dimostrare il teorema è sufficiente integrare per parti e sfruttare la stima asintotica della funzione $u(x)$, il problema sono i dettagli della dimostrazione...
P.S.: la definizione che utilizzo della trasformata di Fourier è la seguente:
$\hat{u}(y)=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-iy\cdot x}u(x) dx$