da Aaron » 29/03/2015, 20:45
Grazie per le risposte. Alla fine l'ho risolto sia con le coordinate cartesiane x,y che quelle u,v... Con il cambio di variabili comunque ci sono meno conti da fare, quindi sicuramente preferibile...
Per scrivere il dominio nelle coordinate u,v ho poi pensato che anzichè "tradurre" il dominio scritto da me in quello nuovo, potevo direttamente ottenere il dominio trasformando i punti dati tramite le equazioni della trasformazione.
Andando quindi a sostituire i vecchi punti nel sistema otterremmo i punti nel sistema di coordinate u,v:
$ O=' (0,0) $, $ A'(0,2) $, $ B'(3,-1) $
Disegnando tali punti nel piano u,v è possibile ricavare a "colpo d'occhio":
$ D'={(u,v)inR^2 : 0<=u<=3, -1/3u<=v<=-u+2} $
A questo punto l'integrale diventa:
$ 1/2 int int _(D') |v|e^udu dv $ dove $ 1/2 $ è lo jacobiano della trasformazione.
A questo punto per toglierci il problema del modulo possiamo spezzare il dominio in due parti, una che rappresenta la parte in cui v è positivo e una in cui v è negativo, ottenendo
$ 1/2 [int int _(D'_1) ve^udu dv - int int _(D'_2) ve^udu dv] $
Dove
$ D'_1={(u,v)inR^2 : 0<=u<=2, 0<=v<=-u+2} $,
$ D'_2={(u,v)inR^2 : -3v<=u<=2-v, -1<=v<=0} $