Premetto subito che sono a conoscenza del fatto che la formula integrale della trasformata inversa di Fourier può essere ottenuta dalla serie di Fourier facendo tendere il periodo all'infinito. Lo spirito di questa discussione vuole essere più astratto.
Parto da alcune considerazioni preliminari:
- La trasformata di Fourier su1 \(\mathbb{R}\) è rappresentata da un integrale: \(\hat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2\pi ix\xi} \, dx\)
- La trasformata inversa su \(\mathbb{R}\) è rappresentata da un integrale (continuo): \(f(x) = \int_{\mathbb{R}} \hat{f}(\xi) e^{2\pi ix\xi} \, dx\)
- \(\mathrm{card}(\mathbb{R}) = \aleph^1\), \(\mathbb{R}\) non limitato
- La trasformata di Fourier su \(\mathbb{S}^1\) è rappresentata da un integrale: \(\hat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{S}^1} f(x) e^{-2\pi ix\xi} \, dx\)
- La trasformata inversa su \(\mathbb{S}^1\) è rappresentata da una serie (discreto): \(f(x) = \sum_{\xi \in \mathbb{Z}} \hat{f}(\xi) e^{2\pi ix\xi} \)
- \(\mathrm{card}(\mathbb{S}^1) = \aleph^1\), \(\mathbb{S}^1\) compatto
In verde ho evidenziato le differenze.
Ora, è chiaro che qui sotto c'è un'associazione:
\[\mathbb{S}^1 \longrightarrow \aleph^0 \text{ (discreto)}\]
\[\mathbb{R} \longrightarrow \aleph^1 \text{ (continuo)}\]
Ecco, questa relazione è quella che mi incuriosisce e vorrei capirne di più.
Mentre scrivevo questo post mi sono imbattuto in questa discussione che mi ha dato due spunti interessanti:
Bruno Joyal ha scritto:The character group of the circle $S^1$ is isomorphic with $\mathbf Z$ (the characters are $\chi_n : \theta \mapsto e^{2\pi i n\theta}$).
On the other hand, the character group of $\mathbf R$ is isomorphic with $\mathbf R$ itself. The characters are $\chi_t : s \mapsto e^{2\pi i st}$.
It is a general principle that the characters of a locally compact group form a "basis" for the space of "nice-enough" functions on the group. Thus, periodic functions (i.e. functions on the circle) have a decomposition as sums of $e^{2\pi i n\theta}$ (Fourier series), whereas functions on $\mathbf R$ have a decomposition as Fourier integrals (inverse Fourier transform of their Fourier transform).
Link: http://math.stackexchange.com/a/536457/45731
Questo mi sembra collegato alla dualità di Pontryagin.
Neal ha scritto:Now we see that this perspective unifies both Fourier series and Fourier transforms: both are given by spectral measures associated to the Laplace operator on the spaces $\mathbb{S}^1$ and $\mathbb{R}$. The spectrum of the Laplacian on $\mathbb{S}^1$ is discrete, so the integral is a sum of projections; the spectrum of the Laplacian on $\mathbb{R}$ is continuous, so the integral is an actual integral of projections.
Link: http://math.stackexchange.com/a/536496/45731
Per quanto tutto questo sia stimolante e molto avanzato e non è il tempo giusto, per me, per affrontare queste cose. Finisce sempre così, quando una cosa non riesco a farmela andare giù ricerco morbosamente una risposta fino ad arrivare laddove i miei piedi non toccano più il fondale. A quel punto mi giro e torno indietro
Riassumo il mio dubbio:
Per me il passaggio da serie a integrale implica in qualche modo il passaggio da discreto a continuo \(\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}\). Quando scrivo una funzione in serie di Fourier generalizzata significa che ho trovato una base numerabile di quello spazio. Ed è quello che avviene per la trasformata in \(L^2(\mathbb{S}^1)\).
Dal momento che in \(L^2(\mathbb{R})\) abbiamo una rappresentazione analoga a quella in serie ma sottoforma di integrale significa che in qualche modo abbiamo una base non numerabile?
Poi c'è il problema della convergenza del prodotto scalare come fa notare qui dissonance.
Insomma, la rappresentazione "spettrale" in serie in uno spazio di Hilbert è una cosa che conosco fin dal corso di algebra lineare, una rappresentazione "spettrale" integrale non so spiegarmela.
La risposta di Neal citata prima stava da queste parti ma non riesco a capirmi...
Sarei felice se qualcun'altro si aggiungesse al mio monologo (che a quel punto diventerebbe un dialogo
)- Utilizzerò volutamente un linguaggio informale. Formalmente infatti la trasformata di Fourier dev'essere definita in uno spazio di funzioni, potremmo scrivere \(L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})\) ↑
