Riparametrizzare una curva: tramite funzione in $C^1$?

[DavideGenova]

Ripassando un po' di teoria degli integrali curvilinei trovo alcune dimostrazioni che avevo studiato senza che mi sembrassero problematiche, ma, adesso, con un po' meno ingenuità matematica di quando le ho studiate la prima volta, noto di inciampare un pochino. Si tratta im particolare della dimostrazione del fatto che, se \(\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3 \) è una curva regolare a tratti e $\mathbf{F}$ una funzione continua definita su un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^3\) contenente il sostegno della curva, l'integrale di $\mathbf{F}$ su di essa ha valore assoluto che non dipende dalla parametrizzazione, mentre cambia segno al cambiare dell'orientazione della curva (e anche dell'analoga dimostrazione che la lunghezza di una curva non dipende dalla parametrizzazione).
Il mio libro di analisi matematica dice solo che la funzione che definisce il cambio di parametrizzazione deve essere biunivoca, continua e monotona, senza specificare nulla riguardo la sua derivabilità continua, ma dimostra, grazie ad una tale funzione continua monotona $f:[c,d]\to [a,b]$ che definisce la riparametrizzazione \(\tilde{\mathbf{r}}(\tau)=\mathbf{r}(f(t))\), che \[\int_c^d \mathbf{F}(\tilde{\mathbf{r}}(\tau))\cdot\tilde{\mathbf{r}}'(\tau)d\tau=\int_c^d \mathbf{F}(\mathbf{r}(f(\tau)))\cdot\mathbf{r}'(f(\tau))f'(\tau)d\tau=\int_{f(c)}^{f(d)}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt \]ma, nonostante sappia che la monotonia di $f$ permette che sia derivabile quasi ovunque e quindi l'integrale al centro della catena di uguaglianze è ben definito, non so come si possa stabilire l'uguaglianza \(\int_c^d \mathbf{F}(\mathbf{r}(f(\tau)))\cdot\mathbf{r}'(f(\tau))f'(\tau)d\tau=\int_{f(c)}^{f(d)}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt\), che sono certo che varrebbe se \(\mathbf{F}(\mathbf{r}(f(\tau)))\cdot\mathbf{r}'(f(\tau))f'(\tau)\) fosse continua come funzione di $\tau$, ma, se non si fanno ipotesi di continuità su \(f'\), non saprei come si possa vedere che vale...
O forse che, in generale, si richiede che la funzione $f$ sia di classe $C^1$?
$\infty$ grazie a tutti!

[gugo82]

Di lunghezze di curve ed integrali curvilinei ho scritto tempo fa qui e, in maniera molto più estesa, qui e qui.
Vedi se puoi trarne giovamento.

[DavideGenova]

Grazie, Gugo, per l'interessantissimo link!!!
Interessante che il testo di Riccardo assuma la derivabilità della funzione di cambio di parametrizzazione che io ho chiamato $f$ (nel post di Riccardo è \(\varphi:[c,d]\to[a,b]\)), caso in cui l'integrando \( \mathbf{F}(\mathbf{r}(f(\tau)))\cdot\mathbf{r}'(f(\tau))f'(\tau) \) esiste ovunque e non solo quasi ovunque e quindi, essendo uguale a \(\mathbf{F}(\tilde{\mathbf{r}}(\tau) )\cdot \tilde{\mathbf{r}}'(\tau)\) che è funzione continua di $\tau$ su $[c,d]$, è continuo, ciò che permette l'integrazione per sostituzione \( \int_c^d \mathbf{F}(\mathbf{r}(f(\tau)))\cdot\mathbf{r}'(f(\tau))f'(\tau)d\tau=\int_{f(c)}^{f(d)}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt \).
Tuttavia, direi che, in generale, si impone che $f$, cioè è poi quella che qui chiami $u$, sia derivabile, no?
$\infty$ grazie ancora!!!

[DavideGenova]

Rileggendo attentamente il modo in cui il mio testo di analisi, il Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, introduce gli integrali curvilinei di seconda specie, esso usa una funzione continua \(\mathbf{F}\), che possiamo pensare sia una forza, e considera un'approssimazione del lavoro effettuato da tale forza sul tratto della curva, il cui supporto chiamiamo $\gamma$, che va da \(\mathbf{r}(t_{i-1})\) a \(\mathbf{r}(t_i)\): \(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t_{i-1}))\cdot (\mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1}))\). Ho l'impressione che il limite di \[\sum_{i=1}^n\mathbf{F}(\mathbf{r}(\xi_i))\cdot (\mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1}))\]dove $a=t_0<t_1,...,t_{n-1}<t_n=b$, $\xi_i\in[t_i-t_{i-1}]$, al tendere dell'ampiezza $\delta_P$ della partizione a 0 sia proprio \(\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt\), infatti la differenza\[\sum_{i=1}^n\mathbf{F}(\mathbf{r}(\xi_i))\cdot (\mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1}))-\sum_{i=1}^n\mathbf{F}(\mathbf{r}(\xi_i))\cdot \mathbf{r}'(\xi_i)(t_i-t_{i-1})\]\[=\sum_{i=1}^n\mathbf{F}(\mathbf{r}(\xi_i))\cdot (\mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1})-\mathbf{r}'(\xi_i)(t_i-t_{i-1})) \]ha norma maggiorabile, per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, da\[\sum_{i=1}^n\|\mathbf{F}(\mathbf{r}(\xi_i))\|\| (\mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1})-\mathbf{r}'(\xi_i)(t_i-t_{i-1}))\|\]\[\le\max_{t\in[a,b]}\|\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\| \sum_{i=1}^n\| (\mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1})-\mathbf{r}'(\xi_i)(t_i-t_{i-1}))\|\]\[=\max_{t\in[a,b]}\|\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\| \sum_{i=1}^n\Big\| \int_{t_{i-1}}^{t_i}\mathbf{r}'(t)-\mathbf{r}'(\xi_i) dt \Big\|\le\max_{t\in[a,b]}\|\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\| \sum_{i=1}^n \int_{t_{i-1}}^{t_i}\|\mathbf{r}'(t)-\mathbf{r}'(\xi_i)\| dt \]ma dal teorema di Heine-Cantor deriva che, per ogni \(\varepsilon>0\), se l'ampiezza della dimensione è sufficientemente piccola, l'ultimo membro è maggiorato da \(\max_{t\in[a,b]}\|\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\| \sum_{i=1}^n \int_{t_{i-1}}^{t_i}\varepsilon dt=\max_{\mathbf{x}\in\gamma}\|\mathbf{F}(\mathbf{x})\|(b-a)\varepsilon \).
Perciò direi che questo permetta di affermare che \(\lim_{\delta_P\to 0} \sum_{i=1}^n\mathbf{F}(\mathbf{r}(\xi_i))\cdot (\mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1}))\) esiste indipendentemente dalla scelta dei punti \(t_i\) ed è uguale a \(\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt\).
Ora, se il limite \(\lim_{\delta_P \to 0} \sum_{i=1}^n\mathbf{F}(\mathbf{r}(t_{i-1}))\cdot (\mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1}))\) fosse identico, come intuitivamente avrei l'impressione che sia, a \(\lim_{\max\|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_{i-1}\| \to 0} \sum_{i=1}^n\mathbf{F}(\mathbf{r}_{i-1})\cdot (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_{i-1})\), allora non dipendebbe dalla parametrizzazione, eccetto per il segno che cambierebbe con l'orientazione, e tutto ciò senza fare alcuna assunzione di derivabilità o di essere di classe $C^1$ sulla funzione di cambio di parametrizzazione $f$, ma non mi riesce di provare rigorosamente come il tendere di $\delta_P$ a 0 equivalga al tendere della "partizione" in segmenti \(\overline{\mathbf{r}_{i-1}\mathbf{r}_i}\) a 0...
In modo quasi identico si otterrebbe che \(\int_\gamma gds=\lim_{\delta_P \to 0}g(\mathbf{r}(\xi_i)) \|\mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1})\|\), indipendentemente dalla parametrizzazione.
Ho scritto scemenze?
$\infty$ grazie a Gugo e a chiunque altro voglia intervenire!

[DavideGenova]

Ho riflettuto oggi, mentre viaggiavo sul bus e con l'influenza addoso, quindi non uccidetemi se dico scemenze, che si potrebbe verificare l'indipendenza degli integrali curvilinei di entrambe le specie dalla parametrizzazione scelta, eccetto che per il cambio di segno degli integrali di seconda specie se cambia l'orientazione, riconducendosi, per ogni tratto di curva da \(\mathbf{r}(\tau_k)\) a \(\mathbf{r}(\tau_{k+1})\) su cui la curva ha una parametrizzazione regolare $\mathbf{r}$, a\[\int_{\tau_k}^{\tau_{k+1}} \mathbf{F}(\mathbf{r}(\tau))\cdot\mathbf{r}'(\tau)d\tau=\int_{\tau_k}^{\tau_{k+1}} \mathbf{F}(\mathbf{s}(\sigma^{-1}(\tau)))\cdot\mathbf{s}'(\sigma^{-1}(\tau))\frac{d\sigma^{-1}(\tau)}{d\tau}d\tau=\int_{\ell(\mathbf{r}(a),\mathbf{r}(\tau_k))}^{\ell(\mathbf{r}(a),\mathbf{r}(\tau_{k+1}))}\mathbf{F}(\mathbf{s}(t))\cdot\mathbf{s}'(t)dt\]dove \(\sigma^{-1}:[0,\ell(\mathbf{r}(a),\mathbf{r}(b))]\) è l'inversa dell'ascissa curvilinea, indipendente da ogni parametrizzazione isoorientata in quanto definita come lunghezza di una parte della curva, e \(\ell(\mathbf{r}(a),\mathbf{r}(\tau_k))\) è la lunghezza la lunghezza del pezzo di curva da \(\mathbf{r}(a)\) a \(\mathbf{r}(\tau_k)\) e $\mathbf{s}$ è la parametrizzazione a velocità unitaria. Infatti $\sigma^{-1}$ è di classe \(C^1\) sul dominio salvo al più agli estremi degli intervalli di integrazione sopra indicati, in cui comunque esistono i limiti destro e sinistro di \(\frac{ds^{-1}}{d\tau}\), come direi che emerge da quanto detto qui.
Per passare da una parametrizzazione \(\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^n\) ad una ad orientazione opposta si può usare la "funzione di cambio di parametrizzazione" \(f:[a,b]\to[a,b]\), \(t\mapsto a-t+b\), \(f\in C^1([a,b])\), che ci fornisce un integrale curvilineo di seconda specie di segno opposto (come ci dice la prima formula del thread), riconducibile anch'esso ad un integrale "calcolato intrinsecamente", uguale cioè ad ogni altro integrale in cui sia conservata l'orientazione della curva, a velocità unitaria utilizzando l'ascissa curvilinea che misura la lunghezza a partire dall'altro estremo della curva \(\mathbf{r}(b)\).
Quindi ogni integrale curvilineo di seconda specie è riconducibile ad un integrale calcolato utilizzando l'intrinseca ascissa curvilinea, che cambia solo in segno al cambio di orientazione.
Spero di non aver scritto scemenze.

[DavideGenova]

l'inversa dell'ascissa curvilinea, indipendente da ogni parametrizzazione isoorientata

C'è un "però" che mi sembra inficiare questa trattazione: in fisica noto che si usa spesso per derivata della parametrizzazione \(\mathbf{r}'\) la velocità di un corpo -per esempio per calcolare il lavoro, con \(\mathbf{F}=m\mathbf{r}''\), \(W=\int_{a}^b m\mathbf{r}''(t)\cdot\mathbf{r}'(t)dt=\frac{1}{2}m\|\mathbf{r}'(b)\|^2-\frac{1}{2}m\|\mathbf{r}'(b)\|^2\)-, non di rado sensa l'ipotesi che \(\mathbf{v}\) sia sempre non nulla (quante volte capita di avere velocità iniziali o finali nulle quando si calcola la variazione di energia cinetica?)... e l'utilizzo dell'ascissa curvilinea presuppone curve in cui \(\forall t\in[a,b]\quad\mathbf{r}'(t)\ne 0\)...

[dissonance]

Non lo so Davide non ho letto tutti questi post. Ma di solito quando si fa "geometria analitica" ci si mette sempre nella classe smooth, e quindi come minimo $C^1$. (I geometri sono più che soddisfatti con $C^\infty$). Ci sono poi dei lavori che cercano di abbassare questa regolarità, ma si sfocia nel campo della cosiddetta "teoria geometrica della misura", e il livello di difficoltà lievita. Dai un'occhiata a libri come l'Evans-Gariepy o il micidiale Federer, se vuoi avere una idea. Lì sicuramente si parla anche di curve e di cambi di parametrizzazione non lisci. Ma io non mi ci avventurerei troppo.