Equazione complessa secondo grado

[Mito125]

Vorrei risolvere questa equazione:

\(\displaystyle z^2 + (5+i)z+5i = 0 \) però senza riconoscere che la somma delle radici e il prodotto delle radici mi danno già come risultato \(\displaystyle z_1 = -5\ \ \ \ z_2 = -i \)

Procedo così:

\(\displaystyle z_{1,2}= \frac{-5-i \pm \sqrt{(5+i)^2 -20i}}{2} \)
\(\displaystyle (5+i)(5+i) = 25 +10i -1 = 24+10i \)

Però qui mi fermo perchè poi non si può calcolare esattamente la radice di \(\displaystyle 24-10i \)... Io avevo pensato di portarlo in forma esponenziale per comodità, ma invece si complica parecchio essendo \(\displaystyle 24-10i = 26e^{i \arctan{-\frac{10}{24}}} \)...

Vorrei anche evitare di riconoscere il quadrato \(\displaystyle 24-10i = (5-i)^2 \)

E' possibile procedere senza usare i "riconoscimenti"? Grazie

[Gi8]

Vogliamo trovare $a,b in RR$ tali che $(a+ib)^2 = 24-10i$
(verranno due soluzioni: ${(a=5),(b= -1):} vv {(a= -5),(b= 1):}$)

Facendo i conti, separando parte reale e parte immaginaria, si ottiene ${(a^2-b^2=24),(2ab= -10):}$

Dalla seconda si ottiene $a= -5/b$. Sostituendo nella prima otteniamo $25/(b^2) -b^2 =24$,
cioè $(25-b^4 -24b^2)/(25)=0 => b^4+24b^2-25=0$

[Mito125]

Grazie, mi è stato molto utile... Ma dall'equazione di quarto grado mantengo solo le soluzioni in campo reale??? Perchè risolvendo per b a me sono venuto 4 soluzioni, 2 reali e 2 complesse...

[Camillo]

Come dice Gi8 $a, b $ sono reali , ovviamente $a+ib $ è complesso

[Mito125]

Come dice Gi8 $a, b $ sono reali , ovviamente $a+ib $ è complesso

Scusa hai ragione, l'ha scritto benissimo lui... Problema risolto direi... Grazie ad entrambi