Equivalenza integrale di linea e integrale di Riemann

da **Riccardo Desimini** » 13/12/2013, 23:34

Aggiungo una domanda un po' più in linea con il thread.

Quello che non sono ancora riuscito a capire di tutto il procedimento che hai seguito è il motivo per cui hai introdotto i concetti di variazione totale e variazione indefinita quando parli delle somme integrali.

Non bastava semplicemente scrivere al posto della variazione totale la lunghezza dell'arco di curva di interesse?

Tuttavia, la cosa che più mi ha lasciato in dubbio è il fatto che usi nelle somme integrali la funzione $ f \circ \varphi $: ma non bastava prendere il $ \sup $ (l'$ \inf $ rispettivamente) di $ f $, anziché della composta? In altre parole, non si poteva in tutta semplicità porre (scegliendo ad esempio le somme inferiori)
\[ s(f,D) = \sum_{k=0}^n l(\Gamma_k) \inf_{\Gamma_k} f(\mathbf{x}) \]
dove $ \Gamma_k $ è il tratto di sostegno dell'arco $ k $-simo della decomposizione della curva?

da **gugo82** » 13/12/2013, 23:46

Sì, si può fare... In quel modo riesci a dare una definizione di integrale direttamente intrinseca, poiché non ti riferisci a nessuna parametrizzazione in particolare. [Questo è il modo usato, ad esempio, sul testo di Cafiero.]

Per fare un discorso del genere, comunque, devi prima parlare di archi di curva orientati, altrimenti, la decomposizione di $\Gamma$ in archetti $\Gamma_0,\Gamma_1,\ldots, \Gamma_n$ come la fai?
In altre parole, l'ordine, qualsiasi esso sia (e.g., $\leq$ sulla retta numerica o l'orientamento di un arco) è una componente delle decomposizioni usate per costruire ogni integrale al modo di Riemann.
Quindi, per parlare di orientamento, avrei comunque dovuto usare prima le parametrizzazioni... Il gioco non valeva la candela, ed ho preferito scrivere come ho scritto. Questione di gusto personale.

D'altra parte, è abbastanza tipico degli analisti riguardare le curve sempre attraverso una qualche loro paramerizzazione, perché essi sono interessati più a cosa può venir fuori facendo Calcolo, piuttosto che alle proprietà intrinseche (dei sostegni) delle curve.

Inoltre, le funzioni a variazione limitata, che si citano davvero di rado (forse si studiano -un po'- in alcuni corsi di Analisi Funzionale), sono una classe di funzioni assai importanti nell'Analisi¹, quindi mi è sembrato opportuno richiamare un po' di attenzione su di esse.

Note

Ad esempio, la maggior parte dei teoremi classici sulle serie di Fourier funziona per le funzioni $BV$... ↑

da **Riccardo Desimini** » 15/12/2013, 10:31

In questo post pongo un problema che mi si è presentato consultando il testo di Analisi 2 che ho in possesso (Bramanti, Pagani, Salsa - Analisi matematica 2, Zanichelli).

Partiamo dall'inizio. Mi è saltato all'occhio questo confronto tra integrale di linea di prima specie e integrale di linea di seconda specie:

«L'integrale di linea di prima specie di una funzione continua $ f $ lungo una curva $ \gamma $ parametrizzata da $ \mathbf{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)) $, $ t \in [a,b] $ è
\[ \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \left | \mathbf{r}'(t) \right |\, {\rm d}t \]
L'integrale di linea di seconda specie, lungo $ \gamma $, del campo $ \mathbf{F} $ è
\[ \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\, {\rm d}t \]
L'integrale di linea di prima specie è invariante per cambiamenti di parametrizzazione della curva, anche quando la nuova parametrizzazione ne cambia l'orientazione.

L'integrale di linea di seconda specie, invece, cambia segno se si cambia l'orientazione sulla curva, mentre continua ad essere invariante per cambiamenti di parametro che non alterino l'orientazione.

Shockato dall'affermazione in grassetto, vado a vedere come arriva in precedenza a giustificarla e ne trovo una dimostrazione.

Inizio dalla definizione di integrale che riporta:

Sia $ \mathbf{r} : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^m $ un arco di curva regolare di sostegno $ \gamma $ e sia $ f : A \subseteq \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} $, con $ \gamma \subseteq A $. Si dice integrale di linea di prima specie di $ f $ lungo $ \gamma $ l'integrale
\[ \int_{\gamma} f\, {\rm d}s = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \left | \mathbf{r}'(t) \right |\, {\rm d}t \]
Subito dopo, passa ad enunciare la seguente proposizione.

«L'integrale di $ f $ di prima specie lungo $ \gamma $ è invariante per parametrizzazioni equivalenti ed anche per cambiamento di orientazione su $ \gamma $».

Riporto solo la dimostrazione del caso interessante, cioè se il cambiamento di parametro inverte l'orientazione della curva.

Si ha
\[ \int_{\gamma} f\, {\rm d}s = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \left | \mathbf{r}'(t) \right |\, {\rm d}t \]
cambiamo parametrizzazione della curva ponendo $ t = \varphi(u) $, con $ \varphi : [c,d] \rightarrow [a,b] $ derivabile, invertibile e decrescente. Si ha allora $ \varphi'(u) \le 0 $, perciò
\[ \left | \mathbf{r}'(\varphi(u)) \right | \varphi'(u) = - \left | \mathbf{r}'(\varphi(u)) \varphi'(u) \right | = - \left | \frac{\rm d}{{\rm d}u} \mathbf{r}(\varphi(u)) \right | \]
Inoltre, in questo caso sarà $ \varphi(c) = b $ e $ \varphi(d) = a $, perciò il cambio di variabile $ t = \varphi(u) $ nell'integrale porta a
\[ \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \left | \mathbf{r}'(t) \right |\, {\rm d}t = \int_d^c f(\mathbf{r}(\varphi(u))) \left | \mathbf{r}'(\varphi(u)) \right | \varphi'(u)\, {\rm d}u \]
Sviluppando, si ottiene
\[ \int_d^c f(\mathbf{r}(\varphi(u))) \left | \mathbf{r}'(\varphi(u)) \right | \varphi'(u)\, {\rm d}u = -\int_d^c f(\mathbf{r}(\varphi(u))) \left | \frac{\rm d}{{\rm d}u} \mathbf{r}(\varphi(u)) \right |\, {\rm d}u = \int_c^d f(\tilde{\mathbf{r}}(u)) \left | \tilde{\mathbf{r}}'(u) \right |\, {\rm d}u \]
da cui la tesi.

Conclusioni

Credo che la divergenza tra quanto scritto da gugo e quanto riportato dal mio testo sia dovuta al fatto che gugo ha definito l'integrale di linea di prima specie lungo curve orientate, mentre il mio testo no.

Tuttavia sono confuso, perché non riesco a capire come interviene il fatto che il percorso di integrazione sia orientato nei discorsi che sono stati fatti.

Qualche opinione in merito?

da **gugo82** » 16/12/2013, 11:45

Opinione?
Beh, semplice, ho scritto una ca***ta io, sovrapponendo le considerazioni che si fanno nella costruzione dell'integrale di Stieltjes con la situazione che si presenta quando si costruiscono gli integrali curvilinei.
La cosa in effetti non mi quadrava (troppo casino per dimostrare quella cosa lì) e "la gatta per la fretta...." :lol:

Scusa, Ric, correggo.

da **Riccardo Desimini** » 18/12/2013, 13:57

Son contento che abbiamo chiarito questa cosa.

Potresti mandarmi (anche via p.m.) una scansione delle pagine del testo di Cafiero che parlano della costruzione intrinseca dell'integrale? Mi piacerebbe fare un confronto (purtroppo non possiedo quel testo).

da **Riccardo Desimini** » 18/04/2014, 12:04

gugo82 ha scritto:Per dimostrare questo fatto si ragiona così come si è ragionato per dimostrare la formula per il calcolo della lunghezza di una curva regolare (quindi la dimostrazione la tralascio... Se serve, basta fare un fischio).

Io ci ho provato a fare gli stessi ragionamenti, ma non ne sono uscito vivo.

Potresti (quando hai tempo e voglia) scrivere per esteso la dimostrazione del risultato $ \int_{\Gamma} f\ \text{d}\sigma = \int_a^b f(\varphi (t))\ \left| \varphi^\prime (t)\right|\ \text{d} t $? In altre parole, sto facendo il fischio.

Da quel che ho capito l'idea di fondo è mostrare che, preso un qualunque $ \varepsilon > 0 $, sia verificata la disuguaglianza
\[ \left | \int_{\Gamma} f\, {\rm d}\sigma - \int_a^b f(\varphi (t))\ \left| \varphi^\prime (t)\right|\ \text{d} t \right | < \varepsilon \]
ma da qui a fare tutto il resto ho bisogno di aiuto.

da **_fabricius_** » 01/04/2015, 21:51

gugo82 ha scritto:
"Date due parametrizzazioni $\phi \in C([a,b];\mathbb{R}^N)$ e $\psi \in C([c,d];\mathbb{R}^N)$ della medesima curva continua $\Gamma$, si pone:
\[
\phi \approx \psi
\]
se e solo se il cambiamento di parametro $u:[a,b]\to [c,d]$ è strettamente crescente."
Geometricamente, se $P$ e $Q$ sono punti distinti del sostegno $C$ di $\Gamma$ e $\phi$ e $\psi$ sono due parametrizzazioni distinte di $\Gamma$, esistono punti $t,\tau \in [a,b]$ ed $s,\sigma \in [c,d]$ tali che:
\[
\phi (t)=P=\psi (s)\qquad \text{e}\qquad \psi (\tau)=Q=\psi (\sigma)\; ;
\]
ora, supposto per semplicità che $t<\tau$, se $\phi \approx \psi$ si ha pure $s=u(t)<u(\tau)=\sigma$, mentre se $\phi \not\approx \psi$ si ha $s=u(t)>u(\tau)=\sigma$.

Ciò non è vero in generale se $\phi$ non è iniettiva. Ad esempio se $\phi(t)=(\cos(t), \operatorname{sen}(t))$ per $t\in [0, 2 \pi]$, $\psi=\phi$, $P=(1,0)$ e $Q=(-1,0)$, si ha $\phi(0)=P=\psi(2\pi)$ e $\phi(\pi)=Q=\psi(\pi)$.