Prodotti alla Cauchy e Abel convergenza.

Messaggioda Newdementia » 31/03/2015, 19:43

Salve a tutti i forumisti,
prima di arrivare al piccolo dubbio che mi assale, espongo un po' di teoria:

Definizione di Abel convergenza
Una serie a termini complessi $\sum_{n=0}^\infty c_n$ si dice Abel convergente se $EE \lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty c_n\ x^n=S$ ed $S$ è detta somma secondo Abel della serie di partenza. (Da notare che non si richiede la convergenza di $\sum_{n=0}^\infty c_n$)

Ora veniamo a questo Teorema:
Considero due serie a termini complessi $\sum_{n=0}^\infty a_n$ e $\sum_{n=0}^\infty b_n$ entrambe Abel convergenti con somma di Abel $S_1$ ed $S_2$ rispettivamente. Allora la serie $\sum_{n=0}^\infty (a*b)_n$ è Abel convergente e, detta $S_3$ la sua somma secondo Abel, si ha che $S_1*S_2=S_3$
(con $\sum_{n=0}^\infty (a*b)_n$ sto denotando il prodotto alla Cauchy tra le due serie)

Dim. Introduciamo prima il seguente lemma:
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Lemma (1): Siano $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ e $\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ due serie di potenze a termini complessi, con raggio di convergenza $R_1$ ed $R_2$ rispettivamente. Detto $R=min{R_1,R_2}$, allora la serie "prodotto alla cauchy" $\sum_{n=0}^\infty (a*b)_n z^n$ è convergente per ogni $z$ t.c. $|z|<R$.
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Allora, dalle ipotesi so che, per definizione di Abel convergenza:
\[
\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n=S_1, \lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty b_n\ x^n=S_2
\]
A questo punto, a queste due ultime serie viene applicato il lemma (1) ottenendo che: $\sum_{n=0}^\infty (a*b)_n x^n=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n * \sum_{n=0}^\infty b_n x^n$
e che:
$\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty (a*b)_n x^n=\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n * \lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty b_n x^n=S_1*S_2$ e perciò la tesi.
________
I mio dubbio è questo: non capisco come si sia potuto applicare il lemma (1) alle serie $\sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n$ e $\sum_{n=0}^\infty b_n\ x^n$, perché non avrei convergenza, convergenza che mi serve anche dopo per fare il prodotto dei limiti (no?). O forse, dall'esistenza di quei due limiti sinistri, dovrei dedurre che ho convergenza in due intorni sinistri di $1$, in modo tale da mettermi nelle ipotesi del lemma?

Un grazie a chi saprà rispondermi ;-)
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Re: Prodotti alla Cauchy e Abel convergenza.

Messaggioda Rigel » 31/03/2015, 19:59

Di fatto, richiedendo che \(\sum c_n\) sia Abel convergente, stai chiedendo che la serie di potenze \(\sum c_n z^n\) abbia raggio di convergenza \(R\geq 1\).
Se vuoi che il limite per \(x\to 1^-\) di \(\sum c_n x^n\) esista finito, come minimo la funzione \(f(x) := \sum c_n x^n\) deve essere definita in un intorno sinistro di \(x = 1\).
(In realtà è sufficiente che \(x=1\) sia un punto di accumulazione sinistro dell'insieme dei valori \(x\) per i quali la serie converge, ma in questo caso è la stessa cosa.)
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Re: Prodotti alla Cauchy e Abel convergenza.

Messaggioda Newdementia » 01/04/2015, 22:54

Grazie. Infatti mi mancava quella piccola osservazione, palese, ma fondamentale. Vedendo su altri materiali online ho notato che nella definizione di Abel convergenza viene richiesta esplicitamente anche la convergenza della serie di potenze relativa... :| vabeh.
Grazie per la veloce risposta ;)
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