Dubbio su dim. criterio del rapporto (serie)

[sleax]

Ciao a tutti. Non ho capito una parte della dimostrazione del criterio del rapporto per serie a termini positivi.
Riporto il testo, sperando che qualcuno mi chiarisca le idee.rapporto

Sia data la serie $\sum_(k=0)^(+oo)a_k$ con $a_k>0 \forall x>=0$. Si supponga che esista, finito o infinito il limite $lim_(k->oo)\frac{a_(k+1)}{a_k}=l$. Allora se $l<1$ $a_k$ converge, se $l>1$ $a_k$ diverge.


dimostrazione:

Sia $l$ finito. Si ha che $\forall \epsilon>0 \exists k_\epsilon>=0$ tale che:
$\forall k>k_\epsilon=>|\frac{a_(k+1)}{k}-l|<\epsilon$ ossia $l-\epsilon<\frac{a_(k+1)}{k}<l+\epsilon$.
Supponiamo dapprima $l<1$. Scelto $\epsilon=\frac{1-l}{2}$ poniamo $q=\frac{1+l}{2}$ e osserviamo che
$0<\frac{a_(k+1)}{a_k}<l+\epsilon=q$, $\forall k>k_\epsilon$.
Pertanto, reiterando, si ha: $a_(k+1)<qa_k<q^2a_(k-1)<...<q^(k-k_\epsilon)a_(k_(\epsilon)+1)$ e quindi.
$a_(k+1)<\frac{a_(k_(\epsilon)+1)}{q^(k_\epsilon)}q^k,\forall k>k_\epsilon$
Concludiamo usando il teorema del confronto e il fatto che la serie geometrica di ragione $q<1$ converge.

Ora io non ho capito quest'ultima parte, che può essere riscritta come:
$\frac{a_(k+1)}{a_(k_(\epsilon)+1)}<q^(k-k_\epsilon),\forall k>k_\epsilon$
Ora, visto che $q^(k-k_\epsilon)$ converge, allora anche la serie $\frac{a_(k+1)}{a_(k_(\epsilon)+1)}$ converge.
Però se $\frac{a_(k+1)}{a_(k_(\epsilon)+1)}$ converge, come faccio a verificare che anche $a_(k+1)=a_k$ converge?

E poi, non dev'essere vero per ogni $\epsilon$? Noi lo stiamo verificando soltanto per $\epsilon=\frac{1-l}{2}$.

[ciampax]

Non devi riscriverla, quella cosa, è qui il tuo errore. La disequazione $a_{k+1}<\frac{a_{k_\epsilon+1}}{q^{k_\epsilon} q^k$ ti permette di concludere che la serie degli $a_{k}$ è maggiorata dalla serie geometrica $q^k$ moltiplicata per il termine costante $\frac{a_{k_\epsilon+1}}{q^{k_\epsilon}$, dal momento che $k_\epsilon$ è fissato. Pertanto hai la convergenza per il teorema del confronto.

Il fatto che tu stia usando un $\epsilon$ particolare è indifferente, in quanto la condizione del "per ogni" è legata al limite: quindi basta prenderne uno (scelto in modo che si possano fare dei ragionamenti comodi) per arrivare a quanto serve.

[sleax]

Grazie ciampax! Non ho soltanto capito il fatto del "per ogni". Puoi spiegarmelo meglio,per favore?

[ciampax]

In sostanza, quando sfrutti una proprietà che vale "per ogni $\epsilon$", tale proprietà continua a valere anche se imponi una scelta specifica a questo $\epsilon$, fatta in modo di "agevolarti" con i conti. Per cui, anche se sembra "restrittivo" fissarsi su un solo valore, tale restrizione risulta, comunque, sufficiente a seguire un ragionamento logico che porti a dimostrare ciò che ti serve.

[sleax]

Se una proprietà vale per ogni $\epsilon$ allora varrà sicuramente per un certo $\epsilon$.
Ma qui facciamo il contrario. Verifichiamo che una proprietà vale per un certo $\epsilon$ fissato, ma poi come facciamo a verificarlo per tutti?

[sleax]

Qualcuno mi aiuta a capire come fa ad assumere che, verificato per un certo $\epsilon_0$, valga per qualsiasi $\epsilon$?