Dubbio risoluzione equazioni

[arnold123]

Facendo alcuni esercizi sulla ricerca di massimi e minimi di funzioni di 2 variabili su insiemi compatti, mi sono saltate fuori 2 equazioni la cui risoluzione mi è alquanto oscura (ciò probabilmente è anche colpa dell'ora tarda, ma sinceramente non riesco a saltarne fuori). Le equazioni sono le seguenti:
1) - $\sin(x) + x^3*(1 - x^4)*\sin(root(4)(1-x^4)) = 0$
2) $\sin(\cos(x))*\sin(x) - \sin(\sin(x))*\cos(x) = 0$

nel caso 1) si vede ad occhio la soluzione x=0 , ma sarà l'unica? (controllando su WolframAlpha, si vede che è l'unica) c'è un modo per risolverla non "ad occhio"? Nel caso 2) si vede sempre che x = 0 è una soluzione, ma anche qui sarà l'unica?

Ho provato con varie sostituzioni in ambo i casi, ma con nessun risultato.
Grazie in anticipo a chi si interesserà.

[kobeilprofeta]

se trovi una soluzione "ad occhio" puoi fare cosí:
1) Calcoli i limiti a piú e meno infinito; se ti vengono di segno opposto, bene.
2) Calcoli la derivata e guardi se è sempre positiva.

Questo significa che la soluzione è unica.

[Palliit]

@kobeilprofeta: direi che in questo caso i limiti per $x to +-oo$ non esistano, nel primo caso perché la funzione a primo membro ha dominio $[-1,+1]$ (tutt'al più si può verificare che negli estremi di tale intervallo i valori assunti sono opposti, essendo tra l'altro una funzione dispari), nel secondo caso per la periodicità della funzione a primo membro (dispari anch'essa). Inoltre lo studio del segno delle due derivate mi sembra operazione ancor più ardua che non la risoluzione delle due equazioni di partenza.

[kobeilprofeta]

[Martino]

Ciao, io non vedo un modo di risolverle. Secondo me arnold123 potresti raccontarci un po' da dove provengono quelle equazioni. Potresti dirci qual è il problema originale, se l'hai trovato in un libro di testo o dove l'hai trovato, in che contesto l'hai trovato, cosa esattamente il problema richiede, e altre cose che ritieni utili. Capita a volte che per risolvere un problema sui massimi e i minimi non serva fare le derivate.

[arnold123]

Beh il problema originale è il seguente.
"Si calcolino massimo e minimo della seguente funzione f(x,y) sull'insieme A:

$\cos(x) + \cos(y)$

$A= x^4 + y^4 = 1$ "

Ovviamente max e min esistono per Weierstrass..

[Martino]

Questo tipo di esercizi si risolve con il metodo di Lagrange (moltiplicatori di Lagrange). Hai provato?

[arnold123]

provato! Ed è proprio da lì che mi saltano fuori quelle due equazioni..

[Martino]

Un consiglio spassionato: ti sarebbe enormemente più utile proporci le tue elaborazioni. Non sai quante volte mi capita di rispondere a una domanda che mi sono fatto semplicemente scrivendo in modo chiaro quello che sono riuscito a fare.

Ti dico quello che mi viene in mente. Osserva che se \( \displaystyle (x,y) \in A \) allora \( \displaystyle -1 \leq x \leq 1 \) e \( \displaystyle -1 \leq y \leq 1 \) . Col metodo di Lagrange trovi che gli eventuali punti di massimo e minimo su A sono \( \displaystyle (x,y) \) in cui il gradiente di \( \displaystyle f(x,y) = \cos(x)+\cos(y) \) e il gradiente di \( \displaystyle g(x,y) = x^4+y^4-1 \) sono paralleli, cioè

\( \displaystyle \det \left( \begin{array}{cc} -\sin(x) & -\sin(y) \\ 4x^3 & 4y^3 \end{array} \right) = 0 \) .

Questo mi dà l'equazione \( \displaystyle y^3 \sin(x) = x^3 \sin(y) \) (che è diversa dalla tua, anche sostutiendo \( \displaystyle y = \sqrt[4]{1-x^4} \) ! Come mai?), ora escludendo \( \displaystyle x=0 \) e \( \displaystyle y=0 \) (che puoi discutere a parte) troviamo \( \displaystyle \frac{\sin(x)}{x^3} = \frac{\sin(y)}{y^3} \) quindi per concludere che \( \displaystyle x=y \) ti basta mostrare che la funzione \( \displaystyle x \mapsto h(x) = \frac{\sin(x)}{x^3} \) è iniettiva negli intervalli aperti \( \displaystyle (-1,0) \) e \( \displaystyle (0,1) \) , e per questo ti basta mostrare che è strettamente monotona in tali intervalli, e per questo ti basta mostrare che la sua derivata non si annulla in tali intervalli. In realtà basta lavorare in \( \displaystyle (0,1) \) perché \( \displaystyle h(x) \) è pari.