integrale doppio con coordinate polari traslate

[21zuclo]

Bene, sembra reggere
Il punto è che quel $\rho\le 2\cos\theta$ l'ho un po' tirato fuori dal nulla, valutandolo solo in alcuni punti, quindi non ne sarei sicurissimo.

da qui $ (x-1)^2+y^2\leq 1 $

con $ { ( x=\rho\cos\theta ),( y=\rho\sin\theta ):} $

si ha $ \rho^2\cos^2\theta+1-2\rho\cos\theta+\rho^2\sin\theta\leq 1\to \rho^2\leq 2\rho\cos\theta $

quindi si ha che $ \rho \in[0,2\cos\theta] $

[corsara73]

Ho erroneamente scritto con centro in (0,1) il centro era in (1,0)

[corsara73]

Pardon il centro era in (1,0)

[phaerrax]

Giusto, 21zuclo, avevo erroneamente scritto $\rho^2\cos^2\theta+\rho^2sin^2\theta=1$ ottenendo così $\rho\ge\frac1{2\cos\theta}$ che non aveva assolutamente senso.

Comunque, menomale che corsara73 ha confermato l'errore del centro altrimenti sarebbe stato tutto per niente!
Dunque, otteniamo l'integrale
\[
\int_0^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}\theta\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta.
\]
Direi che è piuttosto semplice così, no?

[corsara73]

Si grazie, io ho, con molta fatica, integrato per parti per giungere allo stesso risultato. Grazie delle dritte

[21zuclo]

Si grazie, io ho, con molta fatica, integrato per parti per giungere allo stesso risultato. Grazie delle dritte

bé ma $ \arctan(\tan(\theta))=\theta $

per questa proprietà $ f^(-1)(f(x))=x $

quindi in definitiva l'integrale è

$ \int_(0)^(\pi/2)d\theta\int_(0)^(2\cos\theta)\rho\cdot\theta d\rho= \int_(0)^(\pi/2)\thetad\theta \int_(0)^(2\cos\theta)\rho d\rho =...$