Sacaio ha scritto:Stavo terminando la stesura di una risposta esaustiva, ma l'ho persa facendo anteprima perché l'altra discussione (identica) è stata bloccata. Peccato. Riassumero: anzitutto mi pare che in ambo le derivate manchi un $1/2$ davanti a $(x^4 + y^4)$. Passando al problema l'esponenziale puoi non considerarlo, tanto è sempre positivo, e ti trovi un sistema un po' meno ciccione. Poi: un primo risultato lo trovi ponendo $x=0$ (per cui la prima equazione si annulla) e andando a scoprire dove si annulla quel che resta della seconda, ovvero: $y(4y^2 - 1/2y^4)$. Avrai qui come soluzione $y=0$ oppure, se $y!=0$ cerchi le soluzioni di $4y^2 - 1/2y^4=0$ a cui si perviene facilmente raccogliendo un $y^2$. Specularmente a quanto fatto sin ora calcoli anche le soluzioni che risultano ponendo $y=0$. In ultimo ti rimane il caso in cui sia $x$ che $y$ sono diversi da $0$, che ti porta a cercare le soluzioni del sistema:
$4x^2 - 1/2(x^4 + y^4)=0$
$4y^2 - 1/2(x^4 + y^4)=0$
Ovvero:
$4x^2 = 4y^2$ quindi tutte le coppie del tipo $(x,y)=(a,a)$ o $(x,y)=(a,-a) \, \forall a \in \mathbb{R}$.
Dovrebbe essere tutto.
Grazie per le risposte e scusatemi per il titolo, ma mi era sfuggito. Comuqnue ho ricontrollato le derivate su wolfram ed il risultato mi sembra che sia questo postato:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx+%28x%5E4%2By%5E4%29e%5E%28-%28x%5E2%2By%5E2%29%2F2%29Ora mi trovo di fronte al problema dell'Hessiano nullo, quindi nel punto (0,0). Non so come stabilire se è massimo minimo o sella. Ho svolto l esercizio su wolfram, ed è l unico punto in cui non ne viene determinata la natura. Nel frattempo grazie di tutto.