Sono alle prese con il seguente limite al variare di $\alpha in RR$
$\lim_{n \to \infty} root(n)(5(n^3)-2)*(sqrt(4n^4+6n^3)-sqrt(4(n^alpha)+1))*log(cos(3/sqrt(n+2)))$
Ho pensato di sfruttare la proprietà del prodotto e trattare il limite di ogni termine separatamente, e qui vengono i problemi!
Per il termine $\lim_{n \to \infty} root(n)(5(n^3)-2)$ mi viene la forma indeterminata $infty^0$: io ho proceduto così ( se ho sbagliato qualche proprietà delle potenze sono pronto al linciaggio
) $\lim_{n \to \infty} root(n)(5(n^3)-2) = \lim_{n \to \infty} root(n)(n^3(5-2/n^3)) = \lim_{n \to \infty} root(n)(n^3)*root(n)(5) = \lim_{n \to \infty} n^(3*(1/n))*0 = \lim_{n \to \infty} n^(3/n)*0 $ il quale dovrebbe risultare $(infty^0)*0$, il che mi sembra decisamente sbagliato.
Per il termine $ \lim_{n \to \infty}(sqrt(4n^4+6n^3)-sqrt(4(n^alpha)+1))$, sinceramente, non so neanche da dove iniziare, forse proverei razionalizzando, e quel paramentro $\alpha$ mi lascia con ddei dubbi ( cosa significa "al suo variare"? da che valore a che valore si intende? forse fare la distinzione da quando è negativo a quando è positivo fino a quando è uguale zero?)
L' ultimo termine; $log(cos(3/sqrt(n+2)))$, mi pare il più semplice in quanto il termine tra parente si dovrebbe far 0, quindi il coseno è 1, il cui logaritmo riporta a 0.
Ringrazio in anticipo chiunque mi possa dare una mano
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AGGIORNAMENTO
Per il primo termine ho risolto ponendo il limite come $e^(log(5n^3-2)^(1/n)) = e^((1/n)log(5n^3-2)) = e^(log(5n^3-2)/n)$;
da qui mi accorgo che l' $n$ al denomiatore è un infinito di ordine maggiore qui si riduce tutto a $e^0 = 1$
Ora il problema rimane $ \lim_{n \to \infty}(sqrt(4n^4+6n^3)-sqrt(4(n^alpha)+1))$
