Integrale fratto ambiguo

[dissonance]

se,e solo se,a $+infty$ la $f(x)$ è un infinitesimo di ordine maggiore di $1$

Non è un "se e solo se", purtroppo. Ci sono funzioni con l'integrale convergente e che non sono infinitesimi di ordine maggiore di $1$. Ce ne sono addirittura che non sono manco infinitesimi. Ma è un criterio che si può applicare molto spesso.

[quantunquemente]

a me sembra che se la funzione assume sempre lo stesso segno sia un "se è solo se"
ma magari mi sbaglio

[dissonance]

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[quantunquemente]

perfetto
fortunatamente di solito le funzioni negli esercizi non sono così strane

[kipliko]

In pratica, per gli integrali impropri di prima specie, è come studiare il carattere della serie (solo per $[a, + infty)$) giusto?

Non mi è chiaro quando dici che per $x->b$, $f(x)$ è un infinito di ordine maggiore o uguale ad 1.

Per esempio mi spiegheresti questo esercizio?
$int_0^1 sin(x)/sqrtx dx$

So che $sinx ~ x$ per $x->0$ e quindi viene fuori: $x/sqrtx = sqrtx$
Ma $sqrtx$ non è un infinito.
Mi sto perdendo.

Grazie mille per la pazienza.

Paolo

[quantunquemente]

Ma $sqrtx$non è un infinito

e quindi l'integrale converge


anche $ int_(0)^(1) 1/sqrtx dx $ converge perchè l'integrando a zero è un infinito di ordine $1/2$


l'integrale $ int_(0)^(1) 1/x^2 dx $ invece diverge

[kipliko]

Ok,
quindi è l'esatto contrario di quello che sono le armoniche generalizzate per le serie dove $1/x^ alpha$ con $alpha$ <= 1 Diverge?

[quantunquemente]

nell'intervallo limitato è il contrario,in quello illimitato è lo stesso
infatti
$ int_(1)^(+infty) 1/sqrtxdx $ diverge
$ int_(1)^(+infty) 1/x^2dx $ converge