Calcolo massimi e minimi di funzione in due variabili

[Sacaio]

Ho la seguente funzione: $f(x,y) = x^4 + y^4 -2x^2 +4xy -2y^2$ le cui derivate parziali sono:

$f_x(x,y) = 4(x^3 - x + y)$ e $f_y(x,y) = 4(y^3 + x -y)$.

Devo calcolare massimi e minimi locali, dunque porre entrambe le derivate parziali uguali a zero, mettere a sistema e fare il test dell'hessiana sui punti critici così ricavati. Il problema è che non riesco a risolvere il sistema con le due derivate parziali uguali a zero. Potrei esplicitare $y$ dalla prima come segue: $y=x-x^3$, ma sostituendo nella seconda viene poi una cosa ingestibile...

Potete aiutarmi?

Grazie mille!

[gio73]

proviamo così

$4x^3-4x+4y=0$
$4y^3+4x-4y=0$

ora io otterrò ancora un'equazione equivalente se tolgo/aggiungo la stessa cosa a primo e secondo membro, di conseguenza al primo membro della prima aggiungo il primo membro della seconda e al secondo membro della prima aggiungo il secondo membro della seconda. In questo modo mi libero dei termini di I grado, infatti

$(4x^3-4x+4y)+(4y^3+4x-4x)=0+0$
$4x^3+4y^3=0$

[Sacaio]

Ok, ho capito. Dunque risulta:

$4x^3 + 4y^3 = 0 => x^3 = -y^3 => x= -y$

Sostituendo questo risultato nella seconda equazione ottengo i risultati:

$A = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$
$B = (\sqrt{2}, +\sqrt{2})$
$O = (0,0)$

Che sono corretti.

Quel che non capisco è: se avessi operato analogamente a quanto mi hai suggerito di fare sulla prima equazione anche sulla seconda equazione mi sarebbe rimasto nelle mani soltanto $x=-y$, che dava un'infinità di risultati. Dunque, pur facendo qualche cosa di lecito sulle singole equazioni, avrei compromesso il risultato del sistema. Cosa avrei sbagliato? Se non dovesse essere chiaro quanto ho detto lo esprimerò coi conti.

Grazie.

[gio73]

fammi vedere i conti

[Sacaio]

fammi vedere i conti

Scusa se rispondo solo ora, ma non avevo visto la risposta.

Le equazioni sono queste:

(a) $4x^3-4x+4y=0$
(b) $4y^3+4x-4y=0$

Sulla prima equazione opero come hai detto ed ottengo:

(a1) $4x^3+4y^3=0$

Sulla seconda opero analogamente, dunque aggiungo al primo membro di (b) il primo membro di (a) e al secondo membro di (b) il secondo membro di (a). Vale a dire:

$(4y^3+4x-4x)+(4x^3-4x+4y)=0+0$

E ottengo:

(b1) $4x^3+4y^3=0$.

Il sistema è ora diventato:

(a1) $4x^3+4y^3=0$
(b1) $4x^3+4y^3=0$

che, come detto più su, non dà i soli tre risultati previsti, ma un'infinità: sto mettendo a sistema due equazioni uguali, dunque l'una non aggiunge informazioni all'altra.

Credo di sapere dove sta l'errore: ho aggiunto il primo membro di (a), che ormai aveva però preso "altre sembianze" (è diventata (a1)) perché ci avevamo lavorato su come hai suggerito. Questo non toglie però che l'equazione iniziale sia nel nostro sistema vera, ovvero è vero che $4x^3-4x+4y$ è uguale a $0$ ed io posso sempre aggiungere due quantità uguali ai membri di un'equazione. Perciò non riesco a capire perché fare un'operazione che sull'equazione è lecita (?) e corretta (?) infici la validità complessiva del sistema.

[quantunquemente]

è chiaro che devi avere 2 equazioni indipendenti
il sistema da risolvere è $ { ( x=-y ),(x^3-x+y=0 ):} $

[Sacaio]

è chiaro che devi avere 2 equazioni indipendenti
il sistema da risolvere è $ { ( x=-y ),(x^3-x+y=0 ):} $

Ok, prendiamo il sistema come lo hai (correttamente) posto.
Considerata la seconda equazione aggiungo a primo membro $y^3 +x -y$ e a secondo membro $0$. Il che è corretto perché equivale ad aggiungere la stessa quantità ad ambo i membri. Dunque ottengo:

${ ( x=-y ),(x=-y):} $

Questa situazione non ha senso, ma non capisco quale sia il passaggio sbagliato.

[quantunquemente]

allora,molto semplicemente: sono lecite solo le le combinazioni lineari di righe che trasformano il sistema in uno equivalente

se se ne abusa si rischia di cambiare il sistema da risolvere


edit : non ricordo quale filosofo disse che tutto ciò che è inutile è nocivo

[Sacaio]

Ok grazie, ho rispolverato vecchi appunti e tutto mi è tornato chiaro... trasformavo il sistema in uno NON equivalente. Ti ringrazio!