Integrale doppio con sostituzione di variabile

[Rorschach929]

Ciao ragazzi sto cercando di fare questo integrale doppio provando a sostituire in variabili polari, ponendo \(\ x =\rho cos \theta\) e \(\ y =\rho sin \theta +1\)
quindi la retta \(\ y=2-x \) diventa in coordinate polari \(\ \rho = \frac{1}{cos \theta +sin\theta}\ \)
in questo modo gli estremi di integrazione diventano \(\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}\) e \(\ \frac{1}{cos \theta +sin\theta}<\rho<1 \)

a questo punto non sono riuscito a proseguire e non riesco a capire se ho sbagliato sostituzione o se ho sbagliato nei calcoli...

Chi riesce a darmi una mano? Grazie

[tommik]

xxx...vedi post seguenti

[Rorschach929]

in che senso traslo y-1 ??

[tommik]

xxx...vedi post successivo

[tommik]

dato che la funzione ha una perfetta simmetria radiale, così come pure il dominio, centrerei solo le coordinate polari, lasciando inalterato dominio e funzione:

$ { (y>2-x),((y-1)^2+x^2<=1):} $

$ { ( rhosenvartheta>2-rhocosvartheta),( rho^2sen^2vartheta+rho^2cos^2vartheta-2rhosenvartheta<0):} $

$ { ( rho(senvartheta+cosvartheta)>2),( rho^2-2rhosenvartheta<0):} $

$ { ( rho(senvartheta+cosvartheta)>2),( rho(rho-2senvartheta)<0):} $

$ { (rho>2/(senvartheta+cosvartheta)),(rho<2senvartheta):} $

con $ vartheta in [pi/4;pi/2] $

l'integrale diventa:

$ int_(pi/4)^(pi/2) [int_(2/(senvartheta+cosvartheta))^(2senvartheta)drho ]dvartheta = $

riesci ad andare avanti da solo?

[Brancaleone]

$ { (rho>2/(senvartheta+cosvartheta)),(rho<senvartheta):} $

Non vorrei sbagliarmi ma non dovrebbe essere

\[\left\{ \begin{array}{l}
\rho > \frac{2}{{\sin \theta + \cos \theta }}\\
\rho < 2\sin \theta
\end{array} \right.\]