vediamo chi lo risolve nel modo più furbo?

[tommik]

molto spesso, soprattutto per chi non è più studente, per la risoluzione di un integrale non è tanto importante la soluzione finale quanto invece il procedimento adottato per arrivarci....almeno così la penso io.....

voi come lo fareste questo?(Sono vietate le formule parametriche)


$ int_()^() sin^2x/(1+cos^2x) dx $

[kobeilprofeta]

$t=tan x$

[tommik]

questa è la mia proposta:

$ int_()^() sin^2x/(1+cos^2x) dx =int_()^() (1-cos^2x)/(1+cos^2x) dx=int_()^() (2/(1+cos^2x)-1)dx = $

$ =2int_()^() 1/(1+cos^2x)dx-x=2int_()^() 1/cos^2x/(1+1/cos^2x)dx-x= $

$ =2int_()^() 1/((1+tan^2x+1))1/cos^2xdx-x=2int_()^() 1/(2+tan^2x)dtanx-x= $


$ =sqrt(2)int_()^() 1/(1+(tanx/sqrt(2))^2)d(tanx/sqrt(2))-x=sqrt(2)arctan(tanx/sqrt(2))-x+C $

[tommik]

$t=tan x$

intendi così?

$ int_()^() sin^2x/(1+cos^2x) dx =int_()^() tan^2x/(2+tan^2x) dx =int_()^() t^2/((t^2+2)(t^2+1))dt $

non è macchinoso poi

[zerbo1000]

questa è la mia proposta:

$ int_()^() sin^2x/(1+cos^2x) dx =int_()^() (1-cos^2x)/(1+cos^2x) dx=int_()^() (2/(1+cos^2x)-1)dx = $

$ =2int_()^() 1/(1+cos^2x)dx-x=2int_()^() 1/cos^2x/(1+1/cos^2x)dx-x= $

$ =2int_()^() 1/((1+tan^2x+1))1/cos^2xdx-x=2int_()^() 1/(2+tan^2x)dtanx-x= $


$ =sqrt(2)int_()^() 1/(1+(tanx/sqrt(2))^2)d(tanx/sqrt(2))-x=sqrt(2)arctan(tanx/sqrt(2))-x+C $

non capisco come si usa questo modo di sostituire, cambiando il $d$

esempio:

se ho $int sen^2x=int senxd(-cosx)$ come lo posso risolvere usando il tuo metodo?

[zerbo1000]

aspetta, è solo una sostituzione però al posto di ad esempio $f(x)=t$ scrivi $f(x)=g(x)$

fa una sostituzione dove invece che fare una funzione uguale a $t$ o $x$ o $u$ o $w$ sostituisci con una funzione ad un altra funzione?

[zerbo1000]

però se ci penso meglio non può essere cosi , perche allora qui avresti dovuto sostituire anche il termine che ho colorato $ =2int_()^() 1/((1+tan^2x+1))1/cos^2xdx-x=2int_()^() 1/(2+color{red}{tan^2x})dtanx-x= $
e invece è rimasto uguale, perche se sostituisci devi sostiture tutto

[andar9896]

E invece ha fatto proprio quest'ultima cosa che dici poiché
$1/cos^2x dx = d(tanx)$

[zerbo1000]

E invece ha fatto proprio quest'ultima cosa che dici poiché
$1/cos^2x dx = d(tanx)$

ma $d(tanx)$ non è come scrivere $(tanx)' $ che è uguale a $1/cos^2x$ e basta

[Vulplasir]

ma d(tanx) non è come scrivere (tanx)' che è uguale a 1cos2x e basta

$df(x)=f'(x)dx$