Metodo alternativo per risoluzione del limite

[rdlf]

Salve a tutti. Posterò ora un limite e la sua risoluzione fornitami dal prof.
Un passaggio in particolare mi risulta macchinoso e poco intuitivo, volevo chiedere se qualcuno ha una via per giungere al risultato in maniera alternativa.
Passiamo ai fatti: Risolvere il seguente limite al variare di $\alpha$

$\lim_{n \to \infty}(n^2(e^(4/(3n+2))-1)^2)/(1+2/n^\alpha)^n$

limite notevole: $e^x-1/x \rightarrow 1$

$\lim_{n \to \infty}(n^2(4/(3n+2)))^2)/(1+2/n^\alpha)^n = \lim_{n \to \infty} (n^2(16/(9n^2)))/(1+2/n^\alpha)^n$

Dunque

$\lim_{n \to \infty} 16/9*1/(1+2/n^\alpha)^n$

Ecco il passaggio che non mi piace:

$\lim_{n \to \infty} 16/9*1/[(1+2/n^\alpha)^(n^\alpha)]^(n/n^\alpha)$

Osserviamo che $n/n^\alpha = n^(1-\alpha)$

$\rightarrow+infty$ se $ \alpha<1$

$\rightarrow1$ se $ \alpha=1$

$\rightarrow0$ se $ \alpha>1$

Dato che
$(1+2/2^n)^(n^\alpha) \rightarrowe^2$

Abbiamo
$\lim_{n \to \infty} 1/(1+2/n^\alpha)^n =$
$+infty$ se $0<\alpha<1$
$e^2$ se $\alpha=1$
$0$ se $\alpha>1$

da qui in poi lo svolgemento è semplice...

Anche voi l' avreste risolto così? O magari in altri modi più "semplici" e "immediati"?

[quantunquemente]

mi dispiace darti una brutta notizia,ma penso che il prof l'abbia svolto nel migliore dei modi possibili

edit : non ho tenuto conto degli errori di battitura che hai fatto ogni tanto

[francicko]

Non c'e' un modo diverso per la soluzione, prova a mettere il limite $lim_(n->infty)(1+2/n^(alpha))^n$ nella forma

$lim_(n->infty)(1+2/n^(alpha))^n=lim((1+2/n^(alpha))^(n^(alpha)/2))^(2n/n^(alpha)) =lim e^(2n/n^(alpha))$,
e vedere come si comporta per $n->infty $ il limite del rapporto ad esponente $2×limn/n^(alpha)$, per i valori di $alpha $ $inR$,
e pertanto fare il confronto tra gli infiniti, presenti rispettivamente a numeratore $n $, ed a denominatore $n^(alpha) $, ad esempio e' evidente che per $alpha>1$, $n^(alpha) $ va piu' velocemente ad $infty $ di $n $, quindi il loro rapporto tende a $0$, quindi si avra' $e^0=1$, per $alpha=1$ Si avra' $e^2$, per $alpha<1$ si avra' $e^(infty)=infty $.