Calcolare gli integrali usando i residui

[marcoM]

Salve, sto preparando l'esame di metodi matematici e sto trovando qualche difficoltà a svolgere gli integrali tramite i residui. Non mi sono chiari tutti i passaggi .

Dato:
$ int_(-oo)^(+oo) (sen x + cosx)/((4x+pi)(x^2+pi^2)) dx $


1°)Calcolo i poli: $ { ( +- piJ ),(- pi/4 ):} $
2°)Applico la formula $ int_(-oo)^(+oo) f(z)dz = 2 pij [R(Z1)+...+R(Zn)] $
3°) Calcolo i residui nei poli $ f(+- piJ) ----- f(- pi/4 ) $ <--(devo prendere solo i punti reali? o entrambi?)

Grazie in anticipo.
Sto studiando dal libro "Lezioni di Metodi Matematici per L'ingegneria" - Luigi Grieco

[phaerrax]

Il teorema dei residui va applicato ad un integrale nel piano complesso, non lungo l'asse reale.
Devi quindi riuscire a trovare un circuito $\gamma\subset\mathbb C$ (che non passi per i poli) tale che
\[
\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x,
\]
dove nel primo $f$ è una opportuna funzione di variabile complessa, nel secondo è quella data.
Il tuo procedimento è sbagliato, come avrai capito.
I poli sono corretti, il resto no.

Per risolverlo, io proverei a spezzare l'integrale in...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{(4x+\pi)(x^2+\pi^2)}\,\mathrm{d}x+\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin x}{(4x+\pi)(x^2+\pi^2)}\,\mathrm{d}x
\]
che puoi riscrivere come
\[
\Re\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{(4x+\pi)(x^2+\pi^2)}\,\mathrm{d}x+\Im\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{(4x+\pi)(x^2+\pi^2)}\,\mathrm{d}x.
\]
(In realtà, anche spezzando, devi risolvere solo un integrale!)
Ora, la scelta più ovvia per il circuito lungo il quale integrare sarebbe $(-R,R)\cup\{Re^{it},t\in[0,\pi]\}$, in cui poi $R\to+\infty$.
Con il lemma di Jordan dovresti poter dedurre facilmente che la parte di integrale lungo l'arco è nulla con il passaggio al limite.

Ricorda di calcolare i residui della nuova funzione, non di quella originale, e soltanto nei poli "avvolti" dal circuito.