Partiamo dall'inizio; il limite era $lim_(x->0)(1/(3x-1)+sinx/x)/(2^x-2^(-x))$, chiaramente siamo di fronte ad una forma indeterminata $0/0$, in quanto sostituendo $0$ ad $x$, sia il numeratoere che il denominatore si annullano, pertanto per arrivare al corretto calcolo del limite dobbiamo eliminare tale forma, il primo procedimento che avevo postato era sbagliato perchè eseguivo il calcolo del limite a pezzi, cosa in questo caso non lecita e sbagliata , come giustamente ha fatto notare @quantunquemente.
Nella seconda versione, spero corretta, sviluppo i calcoli a numeratore, per cui ho: $1/(3x-1)+sinx/x=(x+(3x-1)sinx)/((x)xx(3x-1))=(x+3xsinx-sinx)/((x)xx(3x-1))$, sostituendo
il nostro limite quindi diventa, $lim_(x->0)((x-sinx)+3xsinx)/((x)xx(3x-1)xx(2^x-2^(-x))$, ho messo in evidenza tra parentesi il termine $x-sinx$, proprio perchè qui vengono coinvolti termini successivi al termine di $1°$, in quanto lo sviluppo in serie di $sinx$ è $sinx=x-x^3/6+x^5/(5!)-........$, quindi avremo $(x-(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-.........))=(-x^3/(3!)+x^5/(5!)-......)$, i termini $-x^3/(3!)$, $x^5/(5!)$, $....$ ecc., sono termini(infinitesimi) di grado superiore al $2°$,trascurabili rispetto ad $3xsinx$ che é asintotico ad $3x^2$, cioè tendono a zero più velocemente, potendo ometterli il nostro limite diventa $lim_(x->0)(3x^2)/((x)xx(3x-1)xx(2^x-2^(-x)))$, semplificando avremo ancora $lim_(x->0)(3x)/((3x-1)xx(2^x-2^(-x)))$, che possiamo scrivere nella forma $lim_(x->0)3/(((3x-1)xx(2^x-2^(-x)))/x)=lim_(x->0)3/((3x-1)xx((2^x-2^(-x))/x))=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx((1-(2^(-x)/(2^x)))/x)$ $=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx((1-2^(-2x))/x)$ $=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx(1-(2^2)^(-x))/x)=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx((1-4^(-x))/x)$ $=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx((4^(-x)-1)/(-x))$, a questo punto notiamo il limite notevole $lim_(x->0)(4^(-x)-1)/(-x)=log4$, e avendo a denominatore solo dei prodotti possiamo sostituire il suo valore ed avremo ancora $lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx(log4)$, calcolando si ha : $lim_(x->0)3/(((3xx0)-1)xx(2^0)xx(log4))$ $=lim_(x->0)3/((-1)xx(1)xx(log4))=-3/(log4)$.
Spero di essermi spiegato chiaramente
saluti!