da ciampax » 27/05/2015, 09:16
Dunque, io andrei ad effettuare una seconda sostituzione con coordinate cilindriche, ponendo
$$w=\rho\cos\theta,\quad u=\rho\sin\theta,\quad v=t$$
in quanto le limitazioni sono date da una coppia di piani e di un cono. Per prima cosa osserva che, a causa della simmetria attorno all'asse del cono, possiamo dire che $\theta\in[0,2\pi)$. Sostituendo possiamo scrivere
$$0\le 3t+\rho(\cos\theta-\sin\theta)\le 1,\qquad \rho^2\le t^2$$
Ora, se indichiamo con $F(\theta)=\cos\theta-\sin\theta$ il termine dipendente da $\theta$, ci accorgiamo che le condizioni equivalgono a delle limitazioni che legano tra loro $\rho$ e $t$
$$t\ge -\frac{F(\theta)}{3}\rho,\qquad t\le-\frac{F(\theta)}{3}\rho+\frac{1}{3},\qquad (t-\rho)(t+\rho)\ge0$$
Consideriamo il piano $\rho O t$: per prima cosa osserva che servono solo il I e IV quadrante, visto che $\rho\ge 0$. Le prime due disequazioni impongono di restringerci alla fascia compresa tra le due rette parallele di coefficiente angolare $-\frac{F(\theta)}{3}$, una passante per l'origine e l'altra per il punto $(0,1/3)$. L'ultima equazione, invece, ti impone di scegliere la porzione di piano esterna alle bisettrici dei quadranti. Dal momento che il massimo di $F(\theta)$ vale $\sqrt{2}$, quando le rette hanno coefficiente angolare negativo esso vale, al massimo $-\sqrt{2}/3> -1$, per cui non ci sarà mai intersezione con la bisettrice del II e IV quadrante.
Ne segue che l'unica intersezione possibile si ha tra la retta $t=-{F(\theta)}/3\rho+1/3$ e la retta $t=\rho$ e il dominio risulta il triangolo di vertici i punti $(0,0)$, $(0,1/3)$ e il punto di intersezione appena detto, di coordinate $(1/{2+F(\theta)},)$.
Considerando che lo Jacobiano della trasformazione risulta $J=\rho$, l'integrale da calcolare è il seguente
$$\int_0^{2\pi}\int_{0}^{1/(2+F(\theta))}\int_{\rho}^{-{F(\theta)}/3\rho+1/3} \rho(2t+\rho\cos\theta)\ dt\ d\rho\ d\theta$$
Obbiettivamente, a vederlo così sembra un morso alle balle dato da un rottweiler affamato, però....
Ultima modifica di
ciampax il 29/05/2015, 07:32, modificato 1 volta in totale.
Docente: Allora, mi dica, se ha una matrice quadrata di ordine [tex]$n$[/tex] qual è il numero massimo di autovalori di questa contati con la loro molteplicità?
Studente: (dopo alcuni istanti di silenzio profondo) [tex]$n\sqrt{2}$[/tex]!!!