dimostrazione su derivata e punti di flesso

[gennarosdc]

Se f è derivabile 2 volte in c$in (a,b)$ di flesso obliquo per f in $[a,b]$,allora $ f'!= 0 $ e $ f''=0 $
Non saprei come dimostrarla o smentirla..mi aiutate perfavore?

[alessandro8]

Ciao.

Un modo relativamente semplice di dimostrare la proposizione è quello di ricordare il significato geometrico della derivata prima e della derivata seconda di una funzione; se tu conosci ciò, dovresti arrivare alla formulazione della dimostrazione.

Saluti.

[gennarosdc]

sappiamo che la derivata nel punto c equivale al coefficente angolare della retta tangente a c ..
ma per il resto il fatto che in c si abbia un flesso obliquo non saprei a cosa riconduce..

[alessandro8]

Invece il segno della derivata seconda, in un punto di ascissa c, dà informazioni sulla concavità o la convessità della funzione in un opportuno intorno di c.

Precisamente:
$f''(c)>0 Rightarrow$ la funzione è convessa in un opportuno intorno di c.
$f''(c)<0 Rightarrow$ la funzione è concava in un opportuno intorno di c.

I punti di flesso sono punti in cui c'è un "passaggio" da funzione concava a convessa (o viceversa).

Saluti.

[gennarosdc]

okay quindi nel punto c la funzione non sarà nè concava nè convessa e di conseguenza la derivata seconda in quel punto è uguale a 0.. giusto?

[alessandro8]

Esatto.

Saluti.

[Fioravante Patrone]

Invece il segno della derivata seconda, in un punto di ascissa c, dà informazioni sulla concavità o la convessità della funzione in un opportuno intorno di c.

Precisamente:
$f''(c)>0 Rightarrow$ la funzione è convessa in un opportuno intorno di c.
$f''(c)<0 Rightarrow$ la funzione è concava in un opportuno intorno di c.

I punti di flesso sono punti in cui c'è un "passaggio" da funzione concava a convessa (o viceversa).

Saluti.

1. la affermazione preceduta da "Precisamente" (in colore rosso), nelle ipotesi date è falsa
2. esistono varie definizioni di punto di flesso. Quella proposta da alessandro8 è una delle tante possibili, ma non è quella più comune

[alessandro8]

Invece il segno della derivata seconda, in un punto di ascissa c, dà informazioni sulla concavità o la convessità della funzione in un opportuno intorno di c.

Precisamente:
$f''(c)>0 Rightarrow$ la funzione è convessa in un opportuno intorno di c.
$f''(c)<0 Rightarrow$ la funzione è concava in un opportuno intorno di c.

I punti di flesso sono punti in cui c'è un "passaggio" da funzione concava a convessa (o viceversa).

Saluti.

1. la affermazione preceduta da "Precisamente" (in colore rosso), nelle ipotesi date è falsa
2. esistono varie definizioni di punto di flesso. Quella proposta da alessandro8 è una delle tante possibili, ma non è quella più comune

Col dovuto rispetto, mi pare che le asserzioni di questi ultimi due punti si contraddicano a vicenda; prima si sostiene che l'affermazione da me scritta sarebbe falsa (sulla base di cosa?), per poi riconoscere, nel punto successivo che è una delle tante possibili (può darsi, ma, a questo punto sarebbe stato più coerente presentare una valida, se non migliore, alternativa a quella da me formulata).

Saluti.

[Fioravante Patrone]

alessandro8, tu hai fatto una affermazione
sta a te provarla
saluti

[alessandro8]

alessandro8, tu hai fatto una affermazione
sta a te provarla
saluti

D'accordo.

Supponiamo che, in un punto di ascissa c valga $f''(c)>o$ (per il caso $f''(c)<o$ si ripeterà lo stesso ragionamento applicando le debite varianti poste tra parentesi tonda).

Allora: in un opportuno intorno $I sub RR$ di c si avrà che $f'(x)$ risulterà crescente (decrescente) $AA x in I$

Quindi: al crescere di $x in I$ il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione aumenterà (diminuirà), il che significa che la funzione è convessa (concava) su tutto l'intorno $I$.

Saluti.