Condizione aggiuntiva in dominio integrale doppio inutile (?)

[angelointi94]

Ciao ragazzi, ho da svolgere il seguente integrale:

$int int_T y+sqrt(x) dx dy$

$T={(x,y)\in RR^2: x^2+y^2<=1, -1<=x<=0, x+1<=y<=0 }$

Disegnando il dominio si ottiene ciò (in arancione ho indicato l'area del dominio interessata):


In questo caso, la condizione $x^2+y^2<=1$ contenuta nel dominio T, non è superflua ? Cioè il dominio si riesce ad individuare anche senza la presenza della circonferenza, o sbaglio ?

Quindi l'integrale si può svolgere come normale rispetto all'asse x ? Poiché la x varia tra due valori numerici ben definiti, mentre la y fra 0 e una funzione di x.

[alessandro8]

Ciao.

Secondo me la zona da colorare di arancione non può essere quella indicata nella figura da te riportata, dal momento che nella definizione dell'insieme $T$ risulta, tra l'altro, che dovrebbe valere $y<=0$.

Dovrebbe risultare che all'insieme $T$ è associabile la porzione di piano coincidente con il quarto di cerchio del terzo quadrante (che nel disegno non compare).

Saluti.

[angelointi94]

Ciao.

Secondo me la zona da colorare di arancione non può essere quella indicata nella figura da te riportata, dal momento che nella definizione dell'insieme $T$ risulta, tra l'altro, che dovrebbe valere $y<=0$.

Dovrebbe risultare che all'insieme $T$ è associabile la porzione di piano coincidente con il quarto di cerchio del terzo quadrante (che nel disegno non compare).

Saluti.

Hai ragione, io avevo sbagliato a disegnare il grafico perché avevo considerato $y>=0$.

A questo punto io però non trovo nessuna regione del piano compresa contemporaneamente all'interno della circonferenza, sopra la retta $y=x+1$ (ma con $y<=0$ ) e con x compresa tra -1 e 0

Possibile che sia sbagliato il testo ?

[dissonance]

Secondo me la condizione $y\le 0$ è un errore di trascrizione. Così com'è il dominio $T$ è ridotto al punto $(x=-1, y=0)$.

[angelointi94]

Secondo me la condizione $y\le 0$ è un errore di trascrizione. Così com'è il dominio $T$ è ridotto al punto $(x=-1, y=0)$.

Il testo è questo, proprio come l'ho scritto io. Sarà sicuramente sbagliato, ho inviato una email alla mia Prof. di Analisi, vi farò sapere

[alessandro8]

Ciao.
Dovrebbe risultare che all'insieme $T$ è associabile la porzione di piano coincidente con il quarto di cerchio del terzo quadrante (che nel disegno non compare).
Saluti.

Scusa, ho scritto una cosa inesatta... io a mia volta non avevo tenuto conto del vincolo della retta.

Ha ragione dissonance:

Secondo me la condizione $ y\le 0 $ è un errore di trascrizione. Così com'è il dominio $ T $ è ridotto al punto $ (x=-1, y=0) $.

Saluti.

[angelointi94]

Aggiornamento ragazzi!

La prof mi ha detto di eliminare la condizione $y<=0$ che è errata come avevamo pensato noi

A questo punto l'area del dominio T è quello spicchio compreso fra la circonferenza e la retta $y=x+1$ no ?

[tommik]

Sì, solo che ora è ridondante l'altra $-1 <x <0$. Integrale facile da risolvere con dominio normale

[angelointi94]

Sì, solo che ora è ridondante l'altra $-1 <x <0$. Integrale facile da risolvere con dominio normale

L'integrale diventa così

$ int_(-1)^0 dx int_(x+1)^(sqrt(-x^2+1)) (y+sqrt(x)) dy $

[angelointi94]

Ragazzi ma l'integrale $int_(-1)^0 x sqrt(x) dx $ come lo risolvo ? Vorrei risolverlo per sostituzione ponendo:

$t=sqrt(x)$ , solo che quando vado per cambiare gli estremi di integrazione (cioè devo fare la radice degli estremi in questo caso no ?), come faccio se c'è $sqrt(-1)$