Informazioni su convergenza serie di funzioni

[maximus24]

Salve, ho terminato lo studio della convergenza delle serie di funzioni e vorrei avere conferme circa il modus operandi per lo svolgimento degli esercizi.

Allora, vi sono:
- convergenza puntuale;
- convergenza assoluta;
- convergenza uniforme;
- convergenza totale;

Dunque: per la prima, di solito, io calcolo il \(\displaystyle lim \sum fn(x) \), quando \(\displaystyle n-> \infty \), e vaglio i casi per cui \(\displaystyle x=0 \) o \(\displaystyle |x| \neq 0 \) e quindi studio la convergenza della successione numerica associata per stabilirne la convergenza puntuale.
Se per ogni caso risulta convergente, quindi il limite diciamo che tende a \(\displaystyle 0 \), allora se \(\displaystyle fn \) è continua lo è anche \(\displaystyle f \), e passo allo studio della convergenza uniforme (dove posso applicare weistrass).
Insieme allo studio della convergenza puntuale, faccio anche quello del valore assoluto e vedo analizzo \(\displaystyle |\sum fn(x)| \) (e sfrutto tutto ciò che mi è possibile usare, tipo disguaglianze etc.)

Poi passo allo studio della convergenza uniforme o totale.
Per quella uniforme, applico la definizione, cioè: \(\displaystyle lim \) \(\displaystyle sup |fn(x) - f(x)| \), quando \(\displaystyle n-> \infty \) (se vale weistrass, sup=max), e vedo se va a \(\displaystyle 0 \), altrimenti cerco sdei sub-intervalli in cui può convergere uniformemente.

Infine quella totale, applico: \(\displaystyle ||fn||\infty = sup |fn(x)| \) (se è cont., allora sup=max) e quindi trovo la serie che maggiora \(\displaystyle ||\sum fn(x)|| \) e vedo se converge o meno. Se converge, allora per confronto converge quella di partenza.

Ho scritto per sommi capi la procedura per ogni caso, ma vorrei capire se è il modus operandi è giusto o sbaglio qualcosa, sebbene gli esercizi mi risultino tutti esatti...

[dissonance]

Non ci sono modus operandi unici per tutto. Rinuncia a questa speranza. Ormai stai studiando matematica mediamente avanzata, e l'unico modo per risolvere gli esercizi è ragionare caso per caso. Spesso tocca inventarsi qualcosa di nuovo per risolvere difficoltà impreviste.

[dan95]

Non ci sono modus operandi unici per tutto. Rinuncia a questa speranza. Ormai stai studiando matematica mediamente avanzata, e l'unico modo per risolvere gli esercizi è ragionare caso per caso. Spesso tocca inventarsi qualcosa di nuovo per risolvere difficoltà impreviste.

Non sono d'accordo. Secondo me nella triennale c'è sempre un modus operandi per svolgere questi esercizi sennó non si spiegherebbero i trenta di certi tizi.

[maximus24]

Non ci sono modus operandi unici per tutto. Rinuncia a questa speranza. Ormai stai studiando matematica mediamente avanzata, e l'unico modo per risolvere gli esercizi è ragionare caso per caso. Spesso tocca inventarsi qualcosa di nuovo per risolvere difficoltà impreviste.

Su questo sono d'accordo, ma volevo sapere se, in generale, fosse corretto. Poi, ovviamente, esistono infinite cammini che collegano due punti, su questo ormai non ci piove ahah

[maximus24]

Tra l'altro, penso che tutti riescano a risolvere ad occhio questo tipo di esercizi, e che la cosa funziona, appunto, in mente e ci va bene quando vogliamo solo e soltanto la soluzione. Quando però siamo sopposti ad esame, penso che invece ci si debba attenere ad un certo rigore, in base al tipo di professore che si ha davanti. Almeno secondo me

[dissonance]

Ma infatti mica io dico di non essere rigoroso. Dico però che non si può più pensare di avere un algoritmo risolutore degli esercizi, come alle elementari. Invece, bisogna capire i concetti della teoria e ingegnarsi volta per volta per applicarli.

Il tuo primo post è purtroppo molto confuso al riguardo. Non si capisce neanche se tu stia studiando la successione $f_n$ o la serie $\sum_{n=1}^\infty f_n$. Rivedi bene la teoria, ci sono gravi problemi.

[maximus24]

Allora, ho spiegato troppo per sommi capi il procedimento che utilizzo.

Dalla teoria so che la condizione necessaria affinché \(\displaystyle \sum fn \) converga puntualmente o unifomemente è che la successione \(\displaystyle {fn} \) associata converga puntualmente o uniformemente alla funzione identicamente nulla.
Inoltre, sempre dalla teoria, so che la condizione sufficiente, se lo spazio è di Banach, affinché \(\displaystyle \sum fn \) converga puntualmente è che la serie di termini \(\displaystyle fn(x) \) convergano normalmente (in questo caso si dice che la serie di funzioni converge assolutamente) mentre, sempre su uno spazio di Banach, la condizione sufficiente affinché \(\displaystyle \sum fn \) converga uniformemente è che converga \(\displaystyle || \sum fn|| \infty = \sum \) \(\displaystyle sup \) \(\displaystyle ||fn(x)||y \), e si dice che la serie converge totalmente.

Quindi, a livello pratico, ciò che io faccio è:

Se ho \sum fn, mi appoggio alla successione \(\displaystyle {fn} \) e da lì applico ciò che conosco sulle successioni per poi ricondurmi, in base a ciò che ho scritto prima, alle serie.

Cioè, non so se mi sono spiegato, questo è lo schema che applico agli esercizi e risultano tutti, non so se sia corretto o meno.

Ad esempio, questo esercizio:

\(\displaystyle \sum \)\(\displaystyle n^{-2} \) \(\displaystyle \sqrt{1-x^{2n}} \) (con \(\displaystyle n \) che da da \(\displaystyle 1 \) ad \(\displaystyle \infty \)) con\(\displaystyle x \in [-1, 1] \)

Allora:

Scrivo che \(\displaystyle \forall \) \(\displaystyle n \) \(\displaystyle \geq \) \(\displaystyle 1 \), \(\displaystyle fn = \) \(\displaystyle n^{-2} \) \(\displaystyle \sqrt{1-x^{2n}} \)
Le \(\displaystyle fn \) sono continue sull'intervallo proposto. Allora provo ad analizzare la convergenza totale, quindi la convergenza della serie numerica \(\displaystyle \sum ||fn|| \infty \)

Quindi scrivo che \(\displaystyle ||fn|| \infty = sup \)(con \(\displaystyle x \in [-1,1] \)) \(\displaystyle |fn(x)|= \) (poiché è continua) \(\displaystyle max \) (con \(\displaystyle x \in [-1,1] \)) \(\displaystyle |fn(x)| = max \) \(\displaystyle n^{-2} \) \(\displaystyle \sqrt{1-x^{2n}} \)

Analizzando la \(\displaystyle fn(x) \) vedo che il \(\displaystyle max \) lo si ha quando \(\displaystyle x=0 \), di conseguenza \(\displaystyle max \) (\(\displaystyle n^{-2} \) \(\displaystyle \sqrt{1-x^{2n}} \)) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle \frac {1}{n^2} \), la cui serie converge perché è aromonica generalizzata.

Per confronto converge TOTALMENTE, la serie di partenza, e quindi implica gli altri tipi di convergenza.

[dissonance]

Allora, ho spiegato troppo per sommi capi il procedimento che utilizzo.

Dalla teoria so che la condizione necessaria affinché \(\displaystyle \sum fn \) converga puntualmente o unifomemente è che la successione \(\displaystyle {fn} \) associata converga puntualmente o uniformemente alla funzione identicamente nulla.
Inoltre, sempre dalla teoria, so che la condizione sufficiente, se lo spazio è di Banach, affinché \(\displaystyle \sum fn \) converga puntualmente è che la serie di termini \(\displaystyle fn(x) \) convergano normalmente (in questo caso si dice che la serie di funzioni converge assolutamente) mentre, sempre su uno spazio di Banach, la condizione sufficiente affinché \(\displaystyle \sum fn \) converga uniformemente è che converga \(\displaystyle || \sum fn|| \infty = \sum \) \(\displaystyle sup \) \(\displaystyle ||fn(x)||y \), e si dice che la serie converge totalmente.

Magari lasciamo stare gli spazi di Banach. Comunque, va bene a parte la convergenza cosiddetta "totale", che è la convergenza della serie $\sum \|f_n\|_{\infty}$.

Ad esempio, questo esercizio:

\(\displaystyle \sum \)\(\displaystyle n^{-2} \) \(\displaystyle \sqrt{1-x^{2n}} \) (con \(\displaystyle n \) che da da \(\displaystyle 1 \) ad \(\displaystyle \infty \)) con\(\displaystyle x \in [-1, 1] \)

Allora:

Scrivo che \(\displaystyle \forall \) \(\displaystyle n \) \(\displaystyle \geq \) \(\displaystyle 1 \), \(\displaystyle fn = \) \(\displaystyle n^{-2} \) \(\displaystyle \sqrt{1-x^{2n}} \)
Le \(\displaystyle fn \) sono continue sull'intervallo proposto. Allora provo ad analizzare la convergenza totale, quindi la convergenza della serie numerica \(\displaystyle \sum ||fn|| \infty \)

Quindi scrivo che \(\displaystyle ||fn|| \infty = sup \)(con \(\displaystyle x \in [-1,1] \)) \(\displaystyle |fn(x)|= \) (poiché è continua) \(\displaystyle max \) (con \(\displaystyle x \in [-1,1] \)) \(\displaystyle |fn(x)| = max \) \(\displaystyle n^{-2} \) \(\displaystyle \sqrt{1-x^{2n}} \)

Analizzando la \(\displaystyle fn(x) \) vedo che il \(\displaystyle max \) lo si ha quando \(\displaystyle x=0 \), di conseguenza \(\displaystyle max \) (\(\displaystyle n^{-2} \) \(\displaystyle \sqrt{1-x^{2n}} \)) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle \frac {1}{n^2} \), la cui serie converge perché è aromonica generalizzata.

Per confronto converge TOTALMENTE, la serie di partenza, e quindi implica gli altri tipi di convergenza.

E' giusto

[maximus24]

perfetto, è quello che volevo sapere xD scusa se sono stato poco chiaro, è che quando penso a serie di funzioni mi viene proprio automatico appoggiarmi concettualmente alle successioni di funzioni per risolvere, quindi la spiegazione appare caotica. grazie mille!