Risoluzione integrali impropri

[mirkov90]

Salve ragazzi, sono nuovo del forum, ho bisogno di aiuto nel risolvere il seguente esercizio:

Mostrare che g(x) = cos^2 1/x non è integrabile in [1, +infinito)

Da quello che so bisogna risolvere l integrale improprio(detto anche integrale generalizzato) utilizzando la formula TFCI ovvero G(infinito)-G(1) dove G è una primitiva di g. Detto ció, non riesco a trovare una primitiva di g=cos^2 1/x

Qualcuno sa risolvere? Grazie anticipatamente.

[poll89]

Allora, prima di tutto fà come dice tommik, impara assolutamente ad usare l'editor di funzioni o qui avrai vita breve e parecchi insulti, te lo garantisco
Secondo, quello che dici è sostanzialmente corretto ma va un rifinito. L'integrale generalizzato di questo caso è definito come $int_{1}^{+infty} g(x) dx = lim_(b->+infty) int_{1}^{b} g(x)dx$. Quindi, meccanicamente, si va a verificare che g ammetta primitiva e nel caso la si calcola, chiamiamola G, dopodiché si verifica se esista finito $lim_(b->+infty) G(b)$, nel qual caso si torna a quello che hai detto tu e si applica il TFCI, cosa che altrimenti non avrebbe senso.
Qui però non ce n'è bisogno: infatti un caro teoremino per gli integrali impropri afferma che, affinchè $int_{1}^{+infty} g(x) dx$ converga (ovvero abbia un valore finito), deve accadere che $lim_(x->+infty) g(x) = 0$, cosa che qui palesemente non avviene visto che si continua ad oscillare all'infinito tra 0 ed 1. Quindi l'integrale non converge, ergo hai concluso quello che volevi.
Attento, quella che ho scritto è una condizione necessaria alla convergenza, ma non sufficiente: se si fosse verificata non avremmo potuto concludere nulla. Per fortuna non è così

[mirkov90]

Grazie mille
Ps: dove trovo l editor delle funzioni da te citato? Forse nella versione mobile del sito non esce?!

[mirkov90]

Risolto, ho trovato la guida del forum per scrivere le formule.

[dissonance]

Qui però non ce n'è bisogno: infatti un caro teoremino per gli integrali impropri afferma che, affinchè $int_{1}^{+infty} g(x) dx$ converga (ovvero abbia un valore finito), deve accadere che $lim_(x->+infty) g(x) = 0$,

Purtroppo questo teoremino è falso. L'unica cosa che puoi dire è che, se $g\ge 0$, allora \(\operatorname{liminf}_{x\to \infty} g(x)=0\).

[mirkov90]

Ciao, cercando in internet mi trovo col "teoremino" di poll89, il criterio necessario per la convergenza di un integrale improprio non pone nessuna clausola $g(x)>=0$ , o quanto meno non era indicata da nessuna parte questa cosa.

Ragazzi comunque volevo chiedervi un'altra cosa, nel seguente esercizio: $\int_-infty^0 e^(1/x)$ dato che l'intervallo non è $[a,+infty]$ , si può applicare lo stesso il "teoremino", o in caso contrario come si procede?

Grazie ancora

[dissonance]

Come dicevo, il teoremino è vero nella formulazione del mio post precedente: se la funzione integranda è non negativa, il suo liminf deve essere zero. (La dimostrazione è pure piuttosto immediata: se il liminf di una funzione non negativa è strettamente positivo, allora la funzione è definitivamente più grande di una costante. E quindi l'integrale diverge. )

Detto questo, per il problema in questione, io farei una sostituzione $x=-\tilde{x}$ se volessi applicare il teoremino. (Ma è meglio mostrare che l'integrale diverge trovando direttamente una costante $c>0$ tale che $e^{\frac{1}{x}}\ge c>0$ in un intorno di $-\infty$. Così si evita di applicare teoremi a macchinetta, che poi tocca ricordarseli e in genere uno tende a dimenticarsene proprio quando gli servono. Esperienza personale, naturalmente)

[poll89]

in realtà il teoremino che ho citato è semplicemente l'applicazione di due risultati classici sugli integrali di Riemann estesi. Il primo afferma che $int_{a}^{+infty} f(x) dx text( converge ) <=> sum_{n=a}^{+infty} f(n) text( converge)$, il secondo è invece la classica condizione necessaria per la convergenza della serie numeriche, che quindi in questo caso chiederebbe $lim_(n->+infty) f(n) = 0$.
Onestamente non ricordo alcuna condizione sul segno del termine della serie (ovvero della funzione integranda), ma del resto sono argomenti che non guardo da alcuni anni. Lascio controllare a te (qualunque libro o dispensa tu abbia sugli integrali impropri sicuramente riporta questo criterio).
In questo caso abbiamo $g(x) = cos^2(1/x) >=0$, quindi il problema non si pone. Però ti invito davvero a controllare, potresti sbagliare di brutto la prossima volta.

[dissonance]

Anche questa equivalenza è falsa, poll. E' vera solo se $f$ è una funzione decrescente. Purtroppo non ho molto tempo ora, ma su questo forum è stata postata alcune volte l'immagine di una funzione a "spikes", che fa da controesempio a molte congetture come questa.

Ripeto: anche se $\int_1^\infty f(x)\, dx$ è convergente, NON è detto che $f(x)\to 0$ ad infinito. Il limite potrebbe infatti non esistere.