dimostrazione integrabilità di f

[alessandro8]

Ciao.

Dovrebbero andar bene entrambi gli approcci, sia il tuo che il mio.

Saluti.

[gugo82]

Beh, per \(0\leq x<1\) si ha:
\[
\begin{split}
\frac{1}{1-x^2} &= \underbrace{\frac{1}{1+x}}_{> \frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{1-x}\\
&> \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-x}
\end{split}
\]
da cui, per monotònia dell'integrale, segue:
\[
\begin{split}
\int_0^x \frac{1}{1-t^2}\ \text{d} t &> \frac{1}{2}\cdot \int_0^x \frac{1}{1-t}\ \text{d} t\\
&= \frac{1}{2}\cdot \left[ -\log (1-t)\right]_0^x\\
&= -\frac{1}{2}\cdot \log (1-x)\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente:
\[
\lim_{x\to 1^-} \int_0^x \frac{1}{1-t^2}\ \text{d} t = +\infty\; ,
\]
per teorema del confronto, e perciò l'integrale improprio diverge in \(1\).

D'altro canto, la questione diventa ancora più semplice se si pensa all'integrabilità secondo Riemann (non all'integrabilità in senso improprio): infatti, la funzione assegnata non è limitata intorno ad \(1\) e perciò non può essere Riemann-integrabile in alcun intervallo che contenga tale punto.