Integrale di superficie

[Duj91]

In un esame di Analisi II è stato assegnato il seguente esercizio:
Sia $Sigma={(x,y,z):(2z-x)^2+(y-x)^2<=1, x+y+2z=1}$
Determinare $ int_(Sigma) x dS $

Io l'ho risolto così:
Opero la trasformazione $x=(1-u-v)/3,y=(2v-u+1)/3,z=w=(1+2u-v)/6$
Il nuovo dominio quindi diventa $Omega={(u,v,w):u^2+v^2<=1, w=(1-v+2u)/6}$
$Omega$ grafico di funzione $ g:Krarr R $ definita da $g(u,v)=(1-v+2u)/6$ dove $K={u^2+v^2<=1}$
$Omega=sigma(K)$ dove $sigma:Krarr R^3$ definita come $sigma(u,v)=((1-u-v)/3,(2v-u+1)/3,(1-v+2u)/6)$
$dS=||1+gradsigma(u,v)||dudv= (rootquad6)/6dudv $
Quindi:
$ int_(Sigma) x dS = int_(K) ((1-v-u)/3)(rootquad6)/6dudv=(rootquad6)/18int_(K) (1-v-u)dudv$
A questo punto passo in coordinate polari e l'integrale diventa:
$(rootquad6)/18int_(K) (1-v-u)dudv=(rootquad6)/18int_(K') (rho-rho^2sintheta-rho^2costheta)drhod theta$
Con
$K'={(rho, theta ):0<rho<1,0< theta <2pi}$
Allora
$(rootquad6)/18int_(K') (rho-rho^2sintheta-rho^2costheta)drhod theta=(rootquad6)/18 int_(0)^(2pi) d theta int_(0)^(1) (rho-rho^2sintheta-rho^2costheta)drho=(rootquad6)/18pi$

[Duj91]

Si hai ragione. Non so cosa io abbia combinato nella trasformazione! Sarà che l'ho svolto alle 4 di notte. La prossima volta sarà meglio che vado a dormire a quell'ora! Comunque ho corretto il testo del messaggio e infatti mi viene lo stesso risultato. Grazie mille davvero!