Punto estremale polinomio

[mirkov90]

Salve ragazzi, sul mio scritto di analisi 1 ho questa affermazione su cui bisogna stabilire se vera o falsa con dimostrazione:

Ogni polinomio in R di grado pari $>=$ 2 ha almeno un punto estremale

non riesco a trovare la definizione di punto estremale, già qui sono bloccato.

Grazie anticipatamente

[poll89]

Immagino intenda gli estremanti, cioè minimo e massimo. è chiaramente falsa, già $x^3 /3 +x$, la cui derivata prima è $x^2 +1$, non ha estremanti reali perchè la sua derivata prima non si annulla in $RR$.

[JackMek]

Definizione presa dal Treccani:

estremale [agg. e s.m. Der. di estremo] E. di una funzione: punto in cui si annullano tutte le derivate parziali prime della funzione; la considerazione di punti e. interviene, per es., nella ricerca dei massimi e dei minimi di una funzione.

Altra definizione

\(\displaystyle X_0 \) è estremale di \(\displaystyle f(x) \) se fa parte del dominio e in un suo intorno \(\displaystyle f \) inverte la propria monotonia.

C.N(ma non sufficiente)
Se \(\displaystyle X_0 \) è estremale allora\(\displaystyle f'(x_0) = 0 \)

[mirkov90]

Ah ok, massimo e minimo della funzione polinomiale...grazie mille

[gennarosdc]

Immagino intenda gli estremanti, cioè minimo e massimo. è chiaramente falsa, già $x^3 /3 +x$, la cui derivata prima è $x^2 +1$, non ha estremanti reali perchè la sua derivata prima non si annulla in $RR$.

Scusate la domanda che può sembrare banale...ma quando dice un grado pari $ >= 2 $ intende i gradi 2,4,6,8.. oppure un qualsiasi dopo 2(compreso),cioè 2,3,4,5.. ?

[poll89]

Chiedo perdono a mirkov per l'errore, avevo saltato la parola "pari" leggendo. In questo caso l'affermazione è vera, lo dimostro per assurdo. grazie a gennaro per averlo fatto notare.
Supponiamo che ci sia un polinomio che invalida l'affermazione: deve quindi essere di grado pari e la sua derivata prima non deve avere radici in $RR$ (altrimenti tali radici sarebbero gli estremanti del polinomio).
Sicuramente non può essere di grado 2, dato che la sua derivata è di grado 1 e quindi ha per forza la sua unica radice in $RR$.
se fosse di grado 4 o superiore (sempre pari, genericamente diciamo di grado 2n con $n in NN$), la sua derivata prima è di grado $2n -1$ ed è di grado maggiore o uguale a 3.
Ora, in $RR$ un polinomio di grado maggiore o uguale a 3 è per forza riducibile: siccome è di grado dispari deve inoltre contenere un fattore di grado 1, quindi avere una radice in $RR$.
concludiamo quindi che il polinomio cercato non esiste, e quindi l'affermazione è vera.

[mirkov90]

Non ti preoccupare poll89, mi ero accorto prima di gennaro che avevi ignorato il fatto del grado pari.....comunque molto più banalmente possiamo dire che secondo un teorema i polinomi di grado dispari in R hanno almeno una radice(dimostrazione con ruffini generalizzato) ; quindi dato che i punti esteremali(max e min) di un polinomio(funzione polinomiale) si trovano calcolando le radici della derivata prima, se il polinomio ha grado pari->la derivata prima ha grado dispari e di conseguenza ha almeno una radice in R, ovvero un punto estremale.

[poll89]

Si certamente, in effetti ho usato quel teorema per affermare che

Ora, in $RR$ un polinomio di grado maggiore o uguale a 3 è per forza riducibile

mi sono solo un po' dilungato per essere più preciso possibile, ultimamente mi hanno fatto notare che pecco di trascuratezza quando rispondo ed hanno ragione comunque ti auguro buono studio e buone cose