Successioni e serie di funzioni

[poll89]

Ciao a tutti, come sempre oggi sto tentando di domare le successioni e le serie di funzioni. In particolare ho questi due esercizi in cui mi blocco ad un certo punto. gradirei molto una spintarella per continuare

1) Per $n in NN$ sia $f_n : RR-{0} -> RR$ la successione di funzioni definita come $f_n(x) = (1+x^2)/(nx) ln(e^(nx) - nx)$. Discuterne la convergenza puntuale ed uniforme sugli intervalli di $RR-{0}$.

2) Studiare, al variare del parametro $ k in RR^+$, la convergenza puntuale ed uniforme in $RR$ della serie $ sum_(n = 1)^(+infty) (k arctan(sqrt(n)x))^n $. Per valori di k in cui la serie convergesse solo puntualmente discutere l'uniformità della convergenza in sottoinsiemi limitati di $RR$.

Passo ad esporvi cosa sono riuscito a fare io. Vi prego di non eccedere nell'insultarmi qualora dovessi aver cannato di brutto

1) Innanzitutto vedo se la successione converge puntualmente a qualcosa ed eventualmente lo calcolo. viene abbastanza evidente che $f_n(x) ->_(n->+infty) f(x) = { ( (1+x^2) text( per ) x in (0,+infty) ),(0 text( per ) x in (-infty,0) ):}$
Ora devo controllare se la convergenza è uniforme nei due casi, eventualmente restringendo x ad un opportuno intervallo di $RR-{0}$. Nel secondo caso per fortuna la funzione limite è limitata (e direi, è proprio costante ) mentre la $f_n$ no, dato che $lim_(x->-infty) f_n(x) = - infty$. Pertanto in questo caso non può esserci convergenza uniforme. Per il caso $x>0$ invece posso solo usare la definizione e vedere di calcolare $||f_n - f||_infty $.
Ho quindi da calcolare $text(sup){(1+x^2)/(nx) (ln(e^(nx)-nx) - nx)}, x in (0,+infty)$. Solo, come cavolo faccio?

2) Per questo esercizio ho un'ipotesi per cui però chiedo conferma a qualcuno più esperto. Applicando la sostituzione $y=arctg(sqrt(n)x))$, che è biettiva per $y in (-pi/2,pi/2)$, ottengo la serie di potenze $sum_(n = 1)^(+infty) k^n y^n $. Il suo raggio di convergenza è quindi $1/k$ (criterio di Cauchy-Hadamard, o criterio della radice per i fedelissimi) e da qui ottengo gli intervalli di convergenza per y. Applicando la sostituzione al contrario e risolvendo le disequazioni dovrei ottenere gli intervalli per x.
Mi confermate che si tratta di una procedura legittima?

Beh, come al solito grazie e punti paradiso a chiunque voglia aiutarmi

[poll89]

up

[dissonance]

Per il 2: hai bisogno che te lo confermi qualcuno? "Procedura legittima": ci sono delle leggi che proibiscono di sostituire $y=\arctan \sqrt{n}x$? L'unico arbitro è la correttezza. Prova a calcolare il risultato. Avresti dovuto farlo *prima* di venire a postare su un forum. Io credo che avrai una sorpresa spiacevole, purtroppo.

[dissonance]

Per la 1: ok, nel semiasse negativo il termine $f_n(x)$ non è limitato ma la convergenza potrebbe comunque essere uniforme se ti metti su un sottointervallo limitato. Devi probabilmente anche escludere il punto $x=0$. Quindi studia cosa succede sugli intervalli $[-b, -a]$ con $0<a<b$.

[poll89]

Beh dissonance, che dire, grazie per le risposte, anche se in fondo non mi hai aiutato granchè per la 2 ho svolto eccome i conti, eccoteli qui:
il raggio di convergenza della serie $sum_(n = 1)^(+infty) k^n y^n$ è $1/k$, positivo e $<+infty$ perchè $k in (0,+infty)$. si ha quindi convergenza assoluta della serie per $y in {((-1/k,1/k) text( se ) |k|> 2/pi ),((-pi/2,pi/2) text( altrimenti)):}$, ovvero, a seconda del valore di k, nell'intervallo più piccolo tra $(-1/k,1/k)$ e $(-pi/2,pi/2)$. Ho poi convergenza normale negli intervalli compatti contenuti negli intervalli che ho segnato. Adesso sostituendo al contrario ottengo quindi di nuovo i due casi e quindi, a rigore di conti, avrei $x in {(((tg(-1/k))/sqrt(n),(tg(1/k))/sqrt(n)) text( nel primo caso)),(RR text( nel secondo caso)):}$

Ovviamente l'ultimo passaggio non mi convince per niente con quell'intervallo dipendente da n. Solo, non so dire se l'intera procedura sia sbagliata o solo magari un passaggino in mezzo che ho smarrito, e per questo ho postato la domanda.

[dissonance]

Appunto. Il risultato non deve dipendere da $n$, un parametro muto (e che tende ad infinito). E' tutto sbagliato. Devi rifarlo con un altro procedimento.

in fin dei conti non mi hai aiutato granché

Mi dispiace, penso sia molto meglio battere la testa in prima persona più a lungo possibile su un problema, e solo dopo chiedere aiuto su qualche forum. Gli errori sono importanti quanto gli esercizi risolti correttamente. In questo caso non volevo obbligarti a scrivere i conti qui, ma solo a fare emergere il risultato assurdo.

Comunque, se preferisci smetto immediatamente di risponderti. Dico sul serio, senza irritazione. Basta che tu me lo dica. Mica sono pagato.

[poll89]

Ma ci mancherebbe, le tue intenzioni sono ammirevoli ma, ritengo, fuori luogo in questa situazione. Scrivendo per filo e per segno i miei tentativi, oltre a mostrare cosa avessi fatto, volevo mostrare che ho studiato e poi ho fatto quanto ho potuto, quindi che non sono il classico studentello svogliato che si fa fare i compiti dal secchione, peraltro gratuitamente. Invece col tuo messaggio mi hai trattato proprio così. Posso accettare che mi si insulti mentre mi si mostra come la mia soluzione sia in realtà una scemenza, ma non che mi si insulti e basta. Mazziato si, ma cornuto e mazziato proprio no, ecco.

comunque, se ti andasse ancora di aiutarmi, ho pensato ad un'altra possibile soluzione:
fissiamo $x_0 $ e supponiamolo non nullo per evitare il caso banale della serie identicamente nulla; la serie numerica risultante $sum_(n=0)^(+infty) (k arctg(sqrt(n) x_0))^n$ mi dà come condizione necessaria alla convergenza $lim_(n->+infty)(k arctg(sqrt(n) x_0))^n = 0$, quindi necessariamente deve essere $k arctg(x_0 sqrt(n)) <1 text( ) AA n in NN$, da cui $0 < k < 2/pi$; deve anche essere $x_0 > 0$, altrimenti il limite non esiste. con queste condizioni abbiamo quindi una serie a termini positivi definitivamente minore di una serie geometrica di ragione < 1, pertanto la serie (numerica) converge, da cui la serie (di funzioni) converge puntualmente in $[0,+infty)$
Definisco $ I := (0,+infty)$ e quindi $||(k arctg(sqrt(n) x))^n||_(infty,I) = text(sup)_(x in I) {(k arctg(sqrt(n) x))^n} = (k pi/2)^n$ e date le condizioni su k, ho che $sum_(n=0)^(+infty) (k pi/2)^n$ è una serie geometrica di ragione < 1, e quindi convergente. ergo c'è convergenza normale della serie di partenza in I, da cui conseguono la convergenza assoluta ed uniforme.
Resta infine il caso x=0, ma dato che conduce alla serie identicamente nulla direi che posso anche farlo rientrare nel caso precedente di convergenza normale.
Questa procedura non mi pone sospetti come la precedente, quindi magari stavolta ci ho preso nel caso non fosse così, un "no, hai sbagliato tutto" sarà sufficiente, grazie

[dissonance]

Ma ci mancherebbe, le tue intenzioni sono ammirevoli ma, ritengo, fuori luogo in questa situazione. Scrivendo per filo e per segno i miei tentativi, oltre a mostrare cosa avessi fatto, volevo mostrare che ho studiato e poi ho fatto quanto ho potuto, quindi che non sono il classico studentello svogliato che si fa fare i compiti dal secchione, peraltro gratuitamente. Invece col tuo messaggio mi hai trattato proprio così. Posso accettare che mi si insulti mentre mi si mostra come la mia soluzione sia in realtà una scemenza, ma non che mi si insulti e basta. Mazziato si, ma cornuto e mazziato proprio no, ecco.

Non voglio insultare nessuno e non ho mai pensato che una soluzione fosse "una scemenza". Infatti non penso affatto che tu abbia fatto una scemenza, ma un buon tentativo basato su una buona idea. Proprio per questo la volevo discutere per fare risaltare l'errore che la fa fallire e capire bene dove invece l'idea non fallisce.

Però ho risposto bruscamente e questo è vero, mi sono riletto ed effettivamente sono suonato un bel po' antipatico, ma non ne avevo l'intenzione. Sono cose che capitano su questi forum, fossimo stati faccia a faccia invece che dietro due tastiere ci saremmo probabilmente capiti.

Quindi ti chiedo scusa, non volevo offenderti.

comunque, se ti andasse ancora di aiutarmi, ho pensato ad un'altra possibile soluzione:
fissiamo $x_0 $ e supponiamolo non nullo per evitare il caso banale della serie identicamente nulla; la serie numerica risultante $sum_(n=0)^(+infty) (k arctg(sqrt(n) x_0))^n$ mi dà come condizione necessaria alla convergenza $lim_(n->+infty)(k arctg(sqrt(n) x_0))^n = 0$, quindi necessariamente deve essere $k arctg(x_0 sqrt(n)) <1 text( ) AA n in NN$, da cui $0 < k < 2/pi$; deve anche essere $x_0 > 0$, altrimenti il limite non esiste. con queste condizioni abbiamo quindi una serie a termini positivi definitivamente minore di una serie geometrica di ragione < 1, pertanto la serie (numerica) converge, da cui la serie (di funzioni) converge puntualmente in $[0,+infty)$
Definisco $ I := (0,+infty)$ e quindi $||(k arctg(sqrt(n) x))^n||_(infty,I) = text(sup)_(x in I) {(k arctg(sqrt(n) x))^n} = (k pi/2)^n$ e date le condizioni su k, ho che $sum_(n=0)^(+infty) (k pi/2)^n$ è una serie geometrica di ragione < 1, e quindi convergente. ergo c'è convergenza normale della serie di partenza in I, da cui conseguono la convergenza assoluta ed uniforme.
Resta infine il caso x=0, ma dato che conduce alla serie identicamente nulla direi che posso anche farlo rientrare nel caso precedente di convergenza normale.

E infatti questo va bene. Alla fine quella arcotangente sta lì tanto per distrarre, dal punto di vista della convergenza quella serie è sostanzialmente una serie geometrica.

[poll89]

bene, allora ci siamo capiti. Avevamo tutti e due le nostre ragioni e la cosa può finire qui per me ti ringrazio ancora per il tuo aiuto e ti saluto. Speriamo che la prossima volta vada meglio