dimostrazione su derivata e punti di flesso

[cheetan]

La derivata seconda è legata al raggio di curvatura, in particolare al raggio della circonferenza osculatrice la curva. Quando si ha un punto di flesso semplicemente questo raggio diverge, e la circonferenza tende ad una retta che è quella tangente al punto. Se la derivata prima è diversa da zero, questa retta non è parallela all'asse delle ascisse.

La derivata seconda della curva (parametrizzata con x(t) e y(t)) ha componente normale alla tangente proporzionale all'inverso del quadrato del raggio della circonferenza osculatrice.

per vedere ciò parametrizza la curva e studiane le derivate su di un riferimento locale, ossia un versore tangente e normale ad un punto della curva.

[Fioravante Patrone]

Supponiamo che, in un punto di ascissa c valga $f''(c)>o$ (per il caso $f''(c)<o$ si ripeterà lo stesso ragionamento applicando le debite varianti poste tra parentesi tonda).

Allora: in un opportuno intorno $I sub RR$ di c si avrà che $f'(x)$ risulterà crescente (decrescente) $AA x in I$

Questa affermazione è falsa.
E' ben noto che avere la derivata prima positiva in un punto NON implica che la funzione sia strettamente crescente in un intorno di quel punto.
Non sei il primo a cascarci, ma ci sono classici controesempi in proposito.

La conclusione si può trarre se si fa una ipotesi in più che, però, non è stata fatta.

[alessandro8]

Supponiamo che, in un punto di ascissa c valga $ f''(c)>o $ (per il caso $f''(c)<o$ si ripeterà lo stesso ragionamento applicando le debite varianti poste tra parentesi tonda).

Allora: in un opportuno intorno $ I sub RR $ di c si avrà che $ f'(x) $ risulterà crescente (decrescente) $ AA x in I $

Questa affermazione è falsa.
E' ben noto che avere la derivata prima positiva in un punto NON implica che la funzione sia strettamente crescente in un intorno di quel punto.
Non sei il primo a cascarci, ma ci sono classici controesempi in proposito.

La conclusione si può trarre se si fa una ipotesi in più che, però, non è stata fatta.

Ciao.

Non ho affatto sostenuto una cosa del genere, nè mi sognerei di farlo.

Se leggessi attentamente quello che avevo scritto e che hai persino riportato come citazione (si veda il testo soprastante), ti accorgeresti che io avevo supposto che la derivata seconda (N.B. non la derivata prima, come ritieni di aver letto) fosse positiva in un punto c.

Conseguenza: la derivata prima risulta essere crescente in un intorno del punto c.

Un errore che ho commesso è stato quello di scrivere "o" al posto dello zero (per mia sbadataggine), ma è l'unico errore che mi si potrà contestare.

Saluti.

[dissonance]

Credo che Fioravante Patrone abbia ragione. (Non mi stupisce, si tratta di uno dei massimi esperti del forum, ultimamente dedito ai cavalli. Chissà se prima si dedicava ai "punti di sella" ).

Avere la derivata seconda positiva in un punto solo non implica che la derivata prima sia crescente in un intorno di quel punto. Per dare monotonia ad una funzione (in questo caso la funzione "derivata prima"), la propria derivata (in questo caso la funzione "derivata seconda") deve avere segno costante in tutto un intervallo, per permettere al teorema del valor medio di entrare in azione. Ma se la derivata (ripeto, in questo caso la funzione "derivata seconda") è discontinua, potrebbe succedere che pur avendo un segno in un punto essa non abbia segno costante in nessun suo intorno.

Un esempio concreto:
\[
f(x)=\int_0^x y^2\sin \frac{1}{y} +y\ dy.\]
La derivata seconda di questa funzione in $0$ vale $1$ ma la derivata prima non è monotona in nessun intervallo contenente l'origine.

[alessandro8]

Credo che Fioravante Patrone abbia ragione. (Non mi stupisce, si tratta di uno dei massimi esperti del forum, ultimamente dedito ai cavalli. Chissà se prima si dedicava ai "punti di sella" ).

Avere la derivata seconda positiva in un punto solo non implica che la derivata prima sia crescente in un intorno di quel punto. Per dare monotonia ad una funzione (in questo caso la funzione "derivata prima"), la propria derivata (in questo caso la funzione "derivata seconda") deve avere segno costante in tutto un intervallo, per permettere al teorema del valor medio di entrare in azione. Ma se la derivata (ripeto, in questo caso la funzione "derivata seconda") è discontinua, potrebbe succedere che pur avendo un segno in un punto essa non abbia segno costante in nessun suo intorno.

Un esempio concreto:
\[ f(x)=\int_0^x y^2\sin \frac{1}{y} +y\ dy. \]
La derivata seconda di questa funzione in $ 0 $ vale $ 1 $ ma la derivata prima non è monotona in nessun intervallo contenente l'origine.

Interessante.

Suppongo che, per precisione sintattica, si voglia alludere a

$f(x)=int_0^x [y^2*sin (1/y) +y]dy$.

Quindi:

$f'(x)=x^2*sin (1/x) +x$
$f''(x)=2x*sin(1/x)+x^2*cos(1/x)*(-1/x^2)+1=2x*sin(1/x)-cos(1/x)+1$

Anche ponendosi il problema di calcolare $lim_{x to 0^+} f''(x)$, non è, comunque, possibile calcolare $f''(0)$ (cioè: esattamente nel punto).
Sulla base di cosa si asserisce che $f''(0)=1$?

Saluti.

[Fioravante Patrone]

Supponiamo che, in un punto di ascissa c valga $ f''(c)>o $ (per il caso $f''(c)<o$ si ripeterà lo stesso ragionamento applicando le debite varianti poste tra parentesi tonda).

Allora: in un opportuno intorno $ I sub RR $ di c si avrà che $ f'(x) $ risulterà crescente (decrescente) $ AA x in I $

Questa affermazione è falsa.
E' ben noto che avere la derivata prima positiva in un punto NON implica che la funzione sia strettamente crescente in un intorno di quel punto.
Non sei il primo a cascarci, ma ci sono classici controesempi in proposito.

La conclusione si può trarre se si fa una ipotesi in più che, però, non è stata fatta.

Ciao.

Non ho affatto sostenuto una cosa del genere, nè mi sognerei di farlo.

Se leggessi attentamente quello che avevo scritto e che hai persino riportato come citazione (si veda il testo soprastante), ti accorgeresti che io avevo supposto che la derivata seconda (N.B. non la derivata prima, come ritieni di aver letto) fosse positiva in un punto c.

Conseguenza: la derivata prima risulta essere crescente in un intorno del punto c.

Un errore che ho commesso è stato quello di scrivere "o" al posto dello zero (per mia sbadataggine), ma è l'unico errore che mi si potrà contestare.

Saluti.

Perché non provi a studiare, invece di perdere tempo a replicare?
Tu pensi che non mi sia accorto che stavi parlando di derivata seconda? Cosa stavi usando di speciale della derivata seconda, oltre al fatto che è la derivata prima della derivata prima?

Comunque, ancora una volta ti suggerisco una prassi abbastanza consueta in matematica. Se si fa una affermazione, questa va provata. E la tua argomentazione NON era né è, né sarà, una dimostrazione.

Non hai dimostrato il fatto che, se una funzione ha la derivata prima {derivata prima della derivata prima} positiva in un punto, allora la funzione {la derivata prima} è strettamente crescente in un intorno di quel punto.

Potresti dare un'occhiata qui:
http://mathoverflow.net/questions/16829 ... erexamples
esempio 13
Anche se sarebbe stato meglio se te lo fossi trovato tu, questo classico esempio, invece di far perdere tempo agli altri per trovartelo

[alessandro8]

Perché non provi a studiare, invece di perdere tempo a replicare?
Tu pensi che non mi sia accorto che stavi parlando di derivata seconda? Cosa stavi usando di speciale della derivata seconda, oltre al fatto che è la derivata prima della derivata prima?

Comunque, ancora una volta ti suggerisco una prassi abbastanza consueta in matematica. Se si fa una affermazione, questa va provata. E la tua argomentazione NON era né è, né sarà, una dimostrazione.

Non hai dimostrato il fatto che, se una funzione ha la derivata prima {derivata prima della derivata prima} positiva in un punto, allora la funzione {la derivata prima} è strettamente crescente in un intorno di quel punto.

Potresti dare un'occhiata qui:
http://mathoverflow.net/questions/16829 ... erexamples
esempio 13
Anche se sarebbe stato meglio se te lo fossi trovato tu, questo classico esempio, invece di far perdere tempo agli altri per trovartelo

Mi dispiace, ma se i toni diventano aggressivi e offensivi, io non raccoglierò più alcuna provocazione.

Accetto le critiche e accetto anche che mi si dica che sbaglio, purchè mi si forniscano prove (che non tocca a me cercare, visto che io sarei convinto, fino a prova contraria e forse anche a mio torto, di aver ragione).

Mi dà da pensare il fatto che si sostenga che una replica su questo forum possa essere giudicata una "perdita di tempo".

Non mi interessa se chi mi insulta sia un eminente rappresentante del mondo accademico o se è anche stato, in passato, un moderatore di questo interessante e utile punto di incontro.

Noi qui ci incontriamo, seppur virtualmente, per scambiarci informazioni e/o contenuti, non per essere verbalmente aggrediti, tantomeno insultati.

Alla luce di quanto è stato scritto verso la mia persona, prenderò in considerazione di segnalare questi messaggi ai moderatori del forum.

Distinti saluti.

[dissonance]

Potresti dare un'occhiata qui:
http://mathoverflow.net/questions/16829 ... erexamples
esempio 13
Anche se sarebbe stato meglio se te lo fossi trovato tu, questo classico esempio, invece di far perdere tempo agli altri per trovartelo

Ecco il link diretto all'esempio:

http://mathoverflow.net/a/71726/13042

(13 è il suo punteggio attuale ma potrebbe cambiare). Si tratta comunque della stessa funzione che ho citato io prima. Quanto al calcolo della sua derivata nell'origine, il fatto che non si riesca a calcolare con le regole-macchinetta non significa che non esista. Basta calcolare esplicitamente il rapporto incrementale e studiarne il limite.

P.S.:

Si tratta di un rimaneggiamento di un esempio standard dell'analisi: la funzione
\[f(x)=\begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x}, & x\ne 0 \\
0, & x=0
\end{cases}\]
Questa funzione è derivabile ovunque ma la sua derivata prima presenta una discontinuità nell'origine. Si tratta di un utile esempio per disinnescare una credenza purtroppo molto diffusa nelle scuole superiori: vedere qui per esempio.

[alessandro8]

Ti ringrazio.

Guarderò l'esempio che mi hai fornito.
E' un piacere scambiare le idee con persone preparate, ma soprattutto educate.

Saluti.

[Luca.Lussardi]

Mi sento di accogliere la richiesta di alessandro8: invito a usare toni meno duri e piu' rilassati.