INtegrale doppio

[guardiax]

Ecco a voi miei cari compagni (se mi permettete di chiamarvi così), ho questo integrla doppio:


$intint_D|y-x|dxdy$ con dominio $d{(x,y)cR^2, x^2/4+y^2>=1,x^2+y^2<=9}$

ecco sembra facile ma non lo è almeno per me.... c'è una circonferenza e un ellissi...... conviene portarlo in coodinate polari....

il grafico e questo ditemi se ho sbagliato...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

io ho fatto così

$int_2^3int_(pi/4)^((5pi)/4) y-xdydx+int_2^3int_((5pi)/4)^(pi/4) -y+xdydx$

sbaglio!?!?!?

[tommik]

io ho fatto così

$int_2^3int_(pi/4)^((5pi)/4) y-xdydx+int_2^3int_((5pi)/4)^(pi/4) -y+xdydx$

cioè, lasciando stare il fatto che stai integrando tra 2 e 3, come se fossero due circonferenze di raggio, appunto, 2 e 3 [E NON E' COSI'!!!] ma mi chiedo: "hai impostato la funzione in coordinate cartesiane e gli estremi di integrazione in radianti ?"

[guardiax]

ae scusa -___- non ho cambiato ancora in coordinate polari volevo sapere solo se avevo scritto gli estremi bene in coordinate poalri

[tommik]

ae scusa -___- non ho cambiato ancora in coordinate polari volevo sapere solo se avevo scritto gli estremi bene in coordinate poalri

No. Con l'ellisse non puoi usare le stesse coordinate polari

[guardiax]

ok allora dove sta la circonferenza metto le coordiante polari e dove sta l'ellissi metto quelle del ellissi?! ma i radianti sono quelli almeno!?

[tommik]

ok allora dove sta la circonferenza metto le coordiante polari e dove sta l'ellissi metto quelle del ellissi?! ma i radianti sono quelli almeno!?

sì i radianti relativi alla circonferenza sono quelli..è tutta la circonferenza.

[tommik]

dunque iniziamo così:

consideriamo la funzione iniziale: $|y-x|$. Per le evidenti proprietà di simmetria del dominio (vedi disegno post iniziale), possiamo evitare di calcolare l'integrale su tutto il dominio, calcolando l'integrale su metà di esso e successivamente moltiplicando il valore ottenuto per due. Se vogliamo utilizzare le coordinate polari / ellittiche dobbiamo pensare che esse mal si adattano ad essere utilizzate insieme. Procediamo quindi calcolando l'integrale su tutto il dominio della circonferenza $x^2+y^2<9$, successivamente sull'ellisse $x^2/4+y^2<1$ procedendo poi a sottrarre l'integrale calcolato sull'ellisse da quello calcolato sulla circonferenza, ottenendo il risultato cercato.

Prima di procedere con il calcolo ti faccio notare che l'uso delle coordinate ellittiche non è mandatorio (io tra l'altro non me le ricordavo nemmeno più e l'ho risolto utilizzando solo le coordinate polari). Infatti, possiamo vedere $x^2/4+y^2=1$ come una particolare circonferenza del tipo $z^2+y^2=1$ con $z=x/2$. Facendo così, basta effettuare prioritariamente un cambio di variabili che si ottiene lo stesso risultato di quello con le coordiante ellittiche.

Per quanto riguarda il calcolo dell'integrale sul dominio $x^2+y^2<9$, esso non presenta problema alcuno ed è facilmente risolvibile:

$2int_0^3int_(pi/4)^((5pi)/4)(rho^2sintheta-rho^2costheta) drho d theta$

Per quanto riguarda invece l'integrale sull'ellisse $x^2/4+y^2<1$ dobbiamo fare attenzione:

Cambio di variabili:

$y=rhosintheta$
$x=2rhocostheta$
$detJ=2 rho$

prendiamo ora la condizione $y>x$ e vediamo che, con il cambio di variabili diventa $rhosintheta>2rhocos theta$. Essendo $rho>0$ possiamo vederla come

$sintheta>2costheta rarr sin^2theta>4cos^2theta rarr 1-cos^2theta>4cos^2theta rarr cos^2theta<1/5 rarr |costheta|<1/sqrt(5) rarr arcos(1/sqrt(5))<theta<arccos(-1/sqrt(5))$

alla fine dovresti quindi trovarti a risolvere:

$2int_0^3int_(pi/4)^((5pi)/4)(rho^2sintheta-rho^2costheta) drho d theta-2int_0^1int_(arccos (1/sqrt (5)))^(arccos (-1/sqrt (5))) (2rho^2sintheta-4rho^2costheta) drho d theta$

che è davvero immediato come integrale. Dopo che lo hai risolto sostituisci il valore degli estremi di integrazione alla variabile ricordando che:

$cos(arccosx)=x$ e $sin (arccosx)=sqrt(1-x^2)$

spero di essere stato sufficientemente chiaro...

[guardiax]

ora ho visto la risposta ora scrivo la risposta con i i passaggi alle coordiante e dopo lo provo a fare io.... così controlli estremi e passaggio a coordinate..