Cauchy

Messaggioda simo954 » 28/05/2015, 12:49

vengo subito al dunque
se il polinomio caratteristico associato all'equazione differenziale ha $ Delta<0 $ ho la soluzione $ lambda=alpha+-betai $ e quindi scrivo $ y(x)=e^(alphax)(c_1sinbetax+c_2cosbetax) $.
Il prof ha fatto solo due esercizi con le funzioni trigonometriche ed entrambi non appartenevano a un problema di cauchy ma era una semplice equazione differenziale in cui bisognava trovare solo l'integrale generale, quindi non è mai servito derivare $y(x)$.
Ora però mi sono imbattuto in un problema di cauchy in cui ho il $Delta<0$ e quindi devo integrare anche seno e coseno...il mio dubbio è sul ruolo giocato dall $x$, cioè devo considerare $ cos(betax) $ o $ cos(beta)*x $ ? ossia la $x$ fa parte della funzione trigonometrica o la moltiplica?

p.s
ora che siamo in tema, mi potete spiegare a cosa servono le equazioni differenziali? da quello che ha detto il prof ho capito che possono dare un'idea sulle varie evoluzioni di un un certo fenomeno...mi potreste fare un esempio per favore :( ?
Ultima modifica di simo954 il 28/05/2015, 17:50, modificato 2 volte in totale.
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Re: domanda veloce cauchy

Messaggioda dissonance » 28/05/2015, 12:52

OVVIAMENTE è $\cos(\beta x)$.

A cosa servono le equazioni differenziali? (Meno male che era una domanda veloce!) A un sacco di cose, troppe per mettersi ad elencarle qui. Dai una occhiata a questa dispensina di Fioravante Patrone: http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.pdf
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Re: domanda veloce cauchy

Messaggioda simo954 » 28/05/2015, 14:19

ero quasi sicuro che fosse $cos(betax)$, però per non sbagliare ho chiesto :D
grazie mille per il link, lo leggerò sicuramente, perchè ho capito che sono importanti ma voglio capire bene come e quando si utilizzano, anche perchè facendo statistica e finanza credo mi saranno molto utili in futuro

una domanda che mi è venuta riguardando un esercizio fatto in aula
ho l'equazione $ y''+y'+2y=2cosx $
per trovare il polinomio generico da uguagliare a $2cosx$ il prof ha scritto $ bar(y)(x)=acosx+bsinx $ ...
questa cosa di scrivere $acosx+bsinx$ è una regola fissa in quanto poi, insieme alle relative derivate, lo devo porre uguale alla $f(x)$(in questo caso $2cosx$)?
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Re: equazione differenziale

Messaggioda dissonance » 28/05/2015, 15:24

Senti, francamente la domanda è scritta abbastanza male. Comunque, non ci sono "regole fisse". C'è un metodo, detto "di somiglianza", che serve a calcolare velocemente una soluzione particolare di una equazione differenziale lineare, a coefficienti costanti e non omogenea. In pratica uno si porta appresso una tabellina che dice: Se il termine non omogeneo (detto $f(x)$ nel tuo esempio) è della forma $X$ cercare una soluzione nella forma $Y$. Procurati una tabellina di questo tipo e portatela appresso. Questa non sembra male
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Re: equazione differenziale

Messaggioda simo954 » 28/05/2015, 15:50

beh si, in effetti rileggendola, la domanda non è posta nel migliore dei modi, però non ci posso far nulla se ancora non ho appreso il linguaggio di questa parte dell'analisi dato che il prof, essendo in ritardo sul programma, in una lezione e mezza c'ha dato alcune formule con pochissimi esempi...sto cercando di capire i perchè e i per come per conto mio...

comunque grazie, mi hai risolto la questione :smt023
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Messaggioda dissonance » 28/05/2015, 16:15

simo954 ha scritto:beh si, in effetti rileggendola, la domanda non è posta nel migliore dei modi, però non ci posso far nulla se ancora non ho appreso il linguaggio di questa parte dell'analisi dato che il prof, essendo in ritardo sul programma, in una lezione e mezza c'ha dato alcune formule con pochissimi esempi...sto cercando di capire i perchè e i per come per conto mio...

comunque grazie, mi hai risolto la questione :smt023

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Io insisto su questo, non per essere gratuitamente antipatico, ma perché secondo me è importante esprimersi bene. Quasi sempre, se uno ha un dubbio e si sforza di esprimerlo bene, il dubbio sparisce da solo. A me succede spesso.

Quanto al resto, come mi diceva un professore di Fisica, "se tu non sai una cosa, la colpa non è del professore che non te la ha insegnata. E' ingiusto, ma è così".

Purtroppo, devo dire che aveva ragione.
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Re: equazione differenziale

Messaggioda simo954 » 28/05/2015, 17:47

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
guarda, parli con uno che tiene molto al linguaggio e al modo in cui ci si esprime, ma purtroppo ho qualche falla per quanto riguarda il matematichese :oops:


comunque evidentemente ho qualche problema con la trigonometria. Stavo provando questo problema ma per 4 volte ho un'incongruenza, ho ricontrollato i calcoli più e più volte ma non riesco a capire dov'è l'errore :cry:

$ { ( y''+y=2sinx ),( y(0)=3 ),( y'(0)=-1 ):} $ la soluzione del polinomio caratteristico è $i$ che posso vedere come $1i$, ottenendo l'equazione omogenea $ y_0(x)=c_1cosx+c_2sinx $. la soluzione particolare dovrebbe essere $ bar(y)(x)=x(acosx+bsinx) $ (*). Mi trovo la derivata prima e seconda di $bar(y)$, $ bar(y')(x)=acosx+bsinx-axsinx+bxcosx $, $ bar(y'')(x)=-2asinx+2bcosx-axcosx-bxsinx $.
Il problema sorge proprio ora. sommate le derivate nell'utilizzo del metodo di somiglianza, rimane $ -2asinx+2bcosx+acosx+bsinx-axsinx+bxcosx=2sinx $ ma ponendo poi il tutto a sistema ci sono delle contraddizioni per quanto riguarda il valore di $a$ e $b$...

riuscite a capire dov'è l'errore? perchè poi risolto, il resto mi dovrebbe venire, solo che è più di due ore che non riesco a vedere lo sbaglio... :?


* nella tabella del metodo di somiglianza che mi hai linkato(@dissonance), è riportata questa dicitura
Forma di $f(x)$: $ Acosomegax+Bsinomegax $ ; forma $bar(y)$: $c_1cosomegax+c_2sinomegax$;, tra le note poi è scritto se $b=0$ può accadere che $c_1cosomegax+c_2sinomegax$ sia soluzione dell'omogenea: in tal caso cercare $bar(y)=x(c_1cosomegax+c_2sinomegax)$ . Se non ho capito male, devo cercare $bar(y)=x(c_1cosomegax+c_2sinomegax)$ quando, secondo la notazione del mio esercizio, $y_0(x)=bar(y)(x)$, giusto? (che sarebbe poi proprio il caso dell'esercizio scritto sopra)

p.s Spero si capisca tutto :|
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Re: Cauchy

Messaggioda simo954 » 28/05/2015, 19:06

Niente, problema risolto
Non so perchè andavo a mettere nella somiglianza anche la derivata che non era prevista nell'equazione differenziale :smt021

comunque se potete, c'è sempre la domanda dell'asterisco, anche se secondo me è giusto quello che ho detto(ma devo verificare la cosa con altri esercizi)
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