Calcolo derivata prima

[gugione]

Ciao,

anche oggi sono alle prese con gli esercizi di matematica Ne ho beccato uno che ho tentato di risolvere, ma non avendo a disposizione le soluzioni, vorrei sapere se il mio ragionamento sia o meno corretto...e, di conseguenza lo svolgimento XD

"Definire $f^'(0)$ e quindi calcolarlo sapendo che $f$ continua in $x = 0$ e che per $x -> 0$ risulta $f(x) = 2 - x + o(x)$

$x -> 0$ mi ha fatto venire in mente gli sviluppi di Taylor, in particolare $1/(1+x) = 1 - x + o(x)$
Notando la somiglianza con la f(x) data dal testo, ho pensato che la mia f(x) sia $f(x) = 1 + 1/(1+x)$ il cui sviluppo per $x -> 0$ mi da la f(x) fornita dal testo.
È coretto?
Se si, posso poi calcolare la derivata.
Grazie

[dissonance]

Segui tutti i passi del testo. Primo passo: scrivere la definizione di $f'(0)$. Tale definizione coinvolge un limite. Prova a calcolare questo limite usando le informazioni in tuo possesso.

Non correre.

[poll89]

in realtà, dato che hai lo sviluppo di Taylor centrato in x=0 e ti viene chiesto il valore di $f'(0)$, è sufficiente che ricordi la definizione di tale sviluppo e ci arrivi da solo...

[gugione]

allora andiamo per passi XD

definizione di derivata:

$Lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$

a questo punto, mi sembra di capire dal testo che il mil $x_0 = 0$...il che mi porterebbe a ottenere
$Lim_(h->0) (f(0+h)-f(0))/h$

a questo punto (premesso che quanto scritto sopra sia corretto) non saprei proprio come andare avanti.
Forse potrei porre il limite uguale al valore di f(x) dato dal testo...ma non so quanto sia corretto o meno

$lim_(h->0) (f(0+h)-f(0))/h = 2-x+o(x)$
non linciatemi se il ragionamento é tutto sbagliato XD

in effetti penso che quanto scritto sia sbagliato, in quanto il testo mi evidenzia $x->0$ quindi ha poco senso eguagliare definizione derivata e f(x)

[poll89]

Forse potrei porre il limite uguale al valore di f(x) dato dal testo...ma non so quanto sia corretto o meno

ecco appunto, non è corretto hai scritto $f'(0) = Lim_(h->0) (f(0+h)-f(0))/h = 2 - x + o(x) = f(x)$ e vedi da solo perchè non va bene
Più semplicemente, tu in realtà hai f(x), seppur espressa in serie di taylor: utilizzala dove si conviene, cioè al posto di $f(0+h)$ e di $f(0)$. Non trascurare l'opiccolo di x

[gugione]

Ah, ho capito...devo applicare la definizione

$Lim_(h -> 0) ((2 - (0 + h) + o(0 + h)) - 2 + 0 + o(0))/h = Lim_(h-> 0) (2 - 0 - h + o(0 + h) - 2 + 0 + o(0))/h$

Ora mi domando..$o(0)$ quanto vale? Io l'ho trascurato, considerato $0$.

e quindi ho ottenuto: $Lim_(h -> 0) (-h + o(h))/h$

E anche ho problemi a considerare $o(h)$...

Grazie per il vostro aiuto

[vict85]

Anche nell'ultimo passaggio devi usare la definizione... \(o(x)(0)=0\) motivalo tu.

Edit: mi sono accorto di un tuo errore solo quando l'ho rifatto io... o(x) è una classe di funzione ed x è intesa come funzione e non variabile. Quindi a rigore o scrivi come ho scritto io sopra (cosa a dire il vero non ottimale) oppure dici \(f = 2-x+g\) con \(g=o(x) \) e porti avanti \(g\)

[poll89]

Beh allora, intanto la definizione di opiccolo si trova dappertutto, già wikipedia ne dà una decente.
Comunque, in modo MOLTO informale puoi dire che o(g(x)) è tutto ciò che va a 0 "più velocemente" di g(x). Questo significa che nel calcolo del limite in cui g$(x)->0$, $o(g(x))$ diventa trascurabile se sommato alla sua g(x). Quindi ad esempio quando hai $ Lim_(h -> 0) (-h + o(h))/h $, quell' o(h) è trascurabile rispetto ad h quando h si avvicina allo zero, quindi lo elimini brutalmente ed il limite fa -1.

[vict85]

Comunque si poteva anche procedere sfruttando la linearità dell'operatore derivata e quindi dedurre che \(f'=-1+g'\) per \(g'=o(x)\). A quel punto dovevi calcolare la seconda derivata. Diciamo che è equivalente.

[dissonance]

@poll: Non è necessario essere informali qui, secondo me. Definizione di o-piccolo: una funzione $f$ è un o-piccolo di $h$ per $h\to 0$, cosa che scriviamo $f(h)=o(h)$, se e solo se il rapporto $\frac{f(h)}{h}$ tende a $0$ quando $h\to 0$. Quindi, *per definizione*, si ha che
\[\frac{o(h)}{h}\to 0.\]
Basta usare questa proprietà per risolvere l'esercizio dell'OP, senza citare Wikipedia né eliminare brutalmente niente. E' un procedimento perfettamente rigoroso e corretto.

In queste cose, se uno inizia a fare troppo hand-waving, poi resta sempre col dubbio di avere sbagliato. Ma le definizioni sono abbastanza semplici da essere usate direttamente.