Limite di funzione a due variabili xy

[Sossella]

Ciao a tutti ragazzi, ho un problema con il seguente limite:
$ lim_((x,y) ->(0,0))sinxy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 $ io lo risolvo come di seguito $ sinxy->xy per (x,y)->(0,0) $ quindi l'argomento diventa $ sinxy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 =< xy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 $
Calcolando il limite con la restrizione lungo la retta $ y=x^2 $ ottengo che
$ lim_((x,x^2) ->(0,0))x^3(x^3-x^10)/(x^2-x^4)^2 $ che mi porta al risultato di $ 1/2 $
Se poi calcolo il limite per la retta $ y=x^3 $ ottengo che il limite è $ +oo $
Però dal libro, controllando le soluzioni, lui risolve il limite attraverso una maggiorante radiale (risultato = 0); invece io ho utlizzato una restrizione della funzione a una curva.
Mi chiedo dove ho sbagliato e quando devo utilizzare un metodo o l'altro
Grazei a tutti!

[quantunquemente]

usando le coordinate polari,ti riconduci al limite

$ lim_(rho -> 0)(rho^5cos^4thetasentheta-rho^7costhetasen^6theta )/(rho^4(cos^2theta-sen^2theta)^2)=0 $

[Sossella]

Ok, fino a qua ci sono. Ma posso ottenere lo stesso risultato con il mio metodo?

[quantunquemente]

scusa,ma qual è il tuo metodo,quello che ti ha portato ad un risultato sbagliato ?

[Sossella]

Si, senza usare le coordinate polari...

[quantunquemente]

studiare la funzione su 2 curve diverse può solo servire a dimostrare che il limite non esiste

[Sossella]

studiare la funzione su 2 curve diverse può solo servire a dimostrare che il limite non esiste

Aaannn capito! Ti ringrazio molto

[dissonance]

Non devi per forza fare come ti dicono gli altri, puoi anche usare il tuo metodo, ma lo devi fare per bene.

Ciao a tutti ragazzi, ho un problema con il seguente limite:
$ lim_((x,y) ->(0,0))sinxy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 $ io lo risolvo come di seguito $ sinxy->xy per (x,y)->(0,0) $

Vabbè, in questo caso il risultato è pure corretto, ma in generale per non sbagliare devi fare uno sviluppo di Taylor del seno e tenere conto dell'errore. Ossia, siccome $\sin z=z+O(z^3)$, ottieni $\sin xy=xy+O(x^3y^3)$. Ripeto, in questo caso il termine di errore finisce per essere trascurabile, ma in generale non è detto che sia così.

$ lim_((x,x^2) ->(0,0))x^3(x^3-x^10)/(x^2-x^4)^2 $ che mi porta al risultato di $ 1/2 $

Sicuro?

Se poi calcolo il limite per la retta $ y=x^3 $ ottengo che il limite è $ +oo $

Sicuro?

I problemi che tu hai non sono a livello di metodi di analisi 2, ma proprio a livello di calcolo dei limiti per funzioni di una sola variabile. Ricalcola tutti questi limiti in $x$ con più attenzione e vedrai che troverai sempre $0$. Questo ti fa intuire che anche il limite in due variabili congiunte farà $0$. A questo punto, o passi in coordinate polari o cerchi di procurarti delle disuguaglianze che ti permettano di concludere con il teorema dei due carabinieri.

[Sossella]

Non devi per forza fare come ti dicono gli altri, puoi anche usare il tuo metodo, ma lo devi fare per bene.

Ciao a tutti ragazzi, ho un problema con il seguente limite:
$ lim_((x,y) ->(0,0))sinxy(x^3-y^5)/(x^2-y^2)^2 $ io lo risolvo come di seguito $ sinxy->xy per (x,y)->(0,0) $

Vabbè, in questo caso il risultato è pure corretto, ma in generale per non sbagliare devi fare uno sviluppo di Taylor del seno e tenere conto dell'errore. Ossia, siccome $\sin z=z+O(z^3)$, ottieni $\sin xy=xy+O(x^3y^3)$. Ripeto, in questo caso il termine di errore finisce per essere trascurabile, ma in generale non è detto che sia così.

$ lim_((x,x^2) ->(0,0))x^3(x^3-x^10)/(x^2-x^4)^2 $ che mi porta al risultato di $ 1/2 $

Sicuro?

Se poi calcolo il limite per la retta $ y=x^3 $ ottengo che il limite è $ +oo $

Sicuro?

I problemi che tu hai non sono a livello di metodi di analisi 2, ma proprio a livello di calcolo dei limiti per funzioni di una sola variabile. Ricalcola tutti questi limiti in $x$ con più attenzione e vedrai che troverai sempre $0$. Questo ti fa intuire che anche il limite in due variabili congiunte farà $0$. A questo punto, o passi in coordinate polari o cerchi di procurarti delle disuguaglianze che ti permettano di concludere con il teorema dei due carabinieri.

Molto chiaro!! Grazie mille!