Esercizio equazione differenziale

[maximus24]

Ciao a tutti, ho questo esercizio:

\(\displaystyle y' = \frac {y^{2} +4ty}{y^{2} +2t^{2}} \)

Non riesco ad identificare la tipologia, e quindi non so proprio come procedere. Qualche consiglio su come iniziare? D:

[quantunquemente]

è un' omogenea
sostituzione $u=y/t$

[poll89]

no non è un'omogenea. La mia dispensa le chiama equazioni differenziali esatte (non credo però sia una notazione universale visto che sembra sottindendere che la forma differenziale sia necessariamente esatta, mentre non è detto). La si risolve così:
da $y' = - (a(x,y))/(b(x,y))$ passi alla forma equivalente $a(x,y) dx + b(x,y) dy = 0$. A questo punto hai una forma differenziale lineare di cui studiare chiusura ed esattezza. Nel caso sia esatta puoi trovare (si spera ) un potenziale mediante integrazione delle funzioni a e b.
Se poi ti viene data anche una condizione locale, ovvero $y(x_0) = y_0$ per qualche $x_0, y_0$, allora puoi trovare una soluzione specifica. Altrimenti avrai una costante arbitraria alla fine.

Le EDO omogene sono della forma $y' = g(y/x)$, motivo per cui in quel caso si utilizza la sostituzione di quantunquemente

[maximus24]

a prima vista non mi sembrava un'equazione di Manfredi, cioè in quel caso la sostituzione sarebbe un po' difficile visto che a denominatore c'è una somma, di cui appunto bisogna tener conto.

adesso proverò la via di poll89, grazie del chiarimento! Non avevo affatto contemplato quella via, cioè non era contenuta nei miei appunti e quindi non ci ho proprio pensato, mi hai ampliato il raggio d'azione! xD

[maximus24]

ho provato a risolverlo così, ma non mi è chiara una cosa:

allora, l'ho portata nella forma che hai proposto:

\(\displaystyle \frac {dy}{dt} = \frac{y^{2} +4ty}{y^{2} +2t^{2}} \)

Dunque:

\(\displaystyle (y^{2} +2t^{2})dy - (y^{2} +4ty)dt =0 \)

Ho verificato se fosse chiusa, e non lo è: di conseguenza non è esatta; quindi che fare? in analisi II se la forma non era chiusa, e dunque non esatta, l'esercizio concludeva così

[poll89]

ok, chiaramente non è chiusa (e che palle), ma c'è una soluzione anche a questo. Intanto, dato che le funzione $a(t,y)$ e $b(t,y)$ sono definite in tutto $RR^2$, che è uno spazio semplicemente connesso, la chiusura di una f. differ. implica l'esattezza. Andiamo quindi a rendere chiusa la nostra forma differenziale aggiungendo i pezzi che mancano ovvero trovando una funzione $g in C^1(Omega sub RR^2 ; RR) text( t.c. ) (partial a*g)/(partial y) (t,y) = (partial b*g)/(partial t) (t,y)$, da cui quindi hai $y^' = (a(t,y)g(t,y))/(b(t,y)g(t,y))$, che è chiusa e quindi esatta. In RR^2 trovare questa g è sempre possibile. Scusami per la notazione un po' confusa, se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure.
A rigore, l'esistenza di questa g è richiesta localmente, ovvero in un intorno di un punto specifico $(t_0,y_0)$, motivo per cui compare quell'$Omega$, ma credo che questa f. differ. sia abbastanza regolare da permettere che g sia globale.
Su come trovare la g... beh, ammetto di non aver ancora dovuto usare questo trucco, quindi non saprei prova ad andare un po' per tentativi. Se non troverai nulla vedrò di aiutarti.

[maximus24]

perfetto, oggi pomeriggio proverò! grazie mille!

(per il modus operandi, onestamente non li avevamo mai fatti così, almeno in analisi II, in analisi III non so, lo sto facendo da autodidatta e negli appunti non compare una tipologia del genere, ecco perché l'esercizio mi aveva frenato un po')

[poll89]

effettivamente non è proprio un esercizio standard, ma mi piace perchè mescola i due modi di trattare quella che, in fondo, è sempre una forma differenziale. Spesso si studiano equazioni differenziali e problemi di Cauchy da una parte e poi, separatamente, le forme differenziali, come fossero due argomenti distinti.
Con questo puoi anche spararti una posa col professore se capita l'occasione

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

comunque anche io sto studiando le equazioni differenziali per analisi 4, e forse tu sai rispondermi a questa domanda: sai spiegarmi cosa sia e come trovare una soluzione massimale di una equazione differenziale? Ho le mie idee sull'argomento ma sono ancora traballante e magari puoi aiutarmi a risolvere il problema

[quantunquemente]

è un'omogenea
$u=y/t$
$dy=udt+tdu$

$udt+tdu=(u^2+4u)/(u^2+2)dt$
$(u-(u^2+4u)/(u^2+2))dt=tdu$

e ci siamo ricondotti ad una bella equazione a variabili separabili

[maximus24]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

comunque anche io sto studiando le equazioni differenziali per analisi 4, e forse tu sai rispondermi a questa domanda: sai spiegarmi cosa sia e come trovare una soluzione massimale di una equazione differenziale? Ho le mie idee sull'argomento ma sono ancora traballante e magari puoi aiutarmi a risolvere il problema

[/quote]

ho trovato numero esercizi online in cui il modus operandi tipico è quello di analizzare la soluzione e studiarne un po' l'andamento nell'intervallo considerato per quella soluzione, e infatti mi ritrovo anche con altri esercizi, fammi sapere