Dimostrazione funzione crescente

[fabiolmessi]

per ogni reale positivo $ a>1 $ la funzione $ log x/loga $ è strettamente crescente in x.
sapendo che $ log x $ è una funzione crescente e $ log a $ una funzione crescente mi verrebbe da dire che sia crescente.
come risolvo la seguente affermazione in modo rigoroso

[alessandro8]

Ciao.

Attenzione, il termine $log a$ non è una funzione, è una costante, inoltre il rapporto tra funzioni crescenti, in generale, non dà luogo ad una funzione crescente.

Esempio:
$x/x^2=1/x$, con $x>0$ è un rapporto tra funzioni crescenti, ma il risultato è una funzione decrescente.

Inoltre, ammesso che ciò possa servire a qualcosa, vale: $(log x)/(log a)=log_a x$.

Saluti.

[fabiolmessi]

scusami puoi dire i passaggi per avere $ log x/log a = log_a x $ ???

[poll89]

http://www.youmath.it/lezioni/analisi-m ... ritmi.html

[alessandro8]

Dimostrazione della cosiddetta "formula del cambiamento di base".

Si vuole far vedere che, in generale (sottointendendo valide le condizioni di esistenza dei logaritmi), vale $log_a b=(log_c b)/(log_c a)$

Poniamo:

${(log_a b=p Rightarrow a^p=b),(log_c b=q Rightarrow c^q=b),(log_c a=r Rightarrow c^r=a):}$ (per definizione di logaritmo)

Dimostrando la validità di $p=q/r$, si sarebbe a posto.

$a^p=b$, ma $c^r=a$, quindi $(c^r)^p=b$.

D'altra parte $c^q=b$, quindi $(c^r)^p=c^q$, cioè: $c^(r*p)=c^q Rightarrow r*p=q Rightarrow p=q/r$.

Con questo stesso tipo di tecnica si possono dimostrare tutte le altre proprietà dei logaritmi.

Saluti.