Discussione convergenza integrale

[simo954]

Premetto che mi sta venendo la nausea da integrali per quanti ne sto facendo e ne dovrò fare
Ora ho iniziato una nuova tipologia di esercizi: discutere la convergenza di integrali impropri.
A dir la verità però non ho capito molto bene come si fanno
come esempio riporto due esercizi

1_ $ int_(1)^(+oo) (x+e^(-x))/(x^2+x+1) dx $
Da quello che ho capito devo studiare il comportamento asintotico della funzione in un intorno dei punti di discontinuità o dell'estremo non finito, quindi in questo caso mi dovrei studiare il comportamento asintotico in un intorno di $+oo$.
Qui ho al denominatore l'esponenziale per il quale $ lim_(x->oo)e^x=oo $, quindi mi dovrebbe assicurare che l'integrale, in un intorno di $+oo$, converge. Non essendoci punti di discontinuità dovrei poter concludere così, ossia confermando che l'integrale in questione converge.

2_ $ int_(2)^(+oo) (sqrt(x+2)-2)/(x^2-3x+2) dx $
Qui, oltre ad avere un estremo non finito, ho un punto di discontinuità in 2. Quindi mi calcolo il limite della funzione una volta con $x->oo$ e una volta con $x->2$?

Sul calcolo degli integrali impropri ormai non credo di avere problemi, l'unica cosa che non riesco a capire è come fare questa discussione sulla convergenza...

p.s
spero di non aver fatto errori e mi scuso se ho scritto male in 'matematichese' ma con i termini devo ancora prenderci la mano e per alcuni capire ancora fino in fondo il loro significato

[quantunquemente]

ad esempio,esercizio 1 : a $+infty$ l'integrando è asintotico a $1/x$ e quindi l'integrale diverge

[Camillo]

Secondo integrale $ int_2^(+oo)(sqrt(x+2)-2)/(x^2-3x+2)$
Valutiamo comportamento asintotico della funzione integranda per $x rarr +oo $.
Per $x rarr +oo $ è asintotica a $ sqrt(x)/x^2= 1/x^(3/2 ) $ e quindi converge essendo $3/2 > 1 $ ok ?

Ora consideriamo quando $x rarr 2 $.Sia numeratore che denominatore tendono a $0 $.
Fattorizzo il denominatore sfruttando le radici del trinomio e quindi :$x^2-3x+2 =(x-2)(x-1)$.
Per il numeratore operiamo una specie di " razionalizzazione " moltiplicando e dividendo la frazione per $sqrt(x+2)+2 $ ottenendo : $ ((sqrt(x+2)-2)(sqrt(x+2)+2))/((x-2)(x-1)(sqrt(x+2)+2 ) )= (x-2)/((x-2)(x-1)(sqrt(x+2)+2))=1/((x-1)(sqrt(x+2)+2)) $ che per $x rarr 2 $ tende a $1/4 $ , valore finito e quindi l'integrale converge. OK ?

[simo954]

ad esempio,esercizio 1 : a $+infty$ l'integrando è asintotico a $1/x$ e quindi l'integrale diverge

la $e$ quindi non la si considera e si osservano solo le x?

Secondo integrale $ int_2^(+oo)(sqrt(x+2)-2)/(x^2-3x+2) $
Valutiamo comportamento asintotico della funzione integranda per $ x rarr +oo $.
Per $ x rarr +oo $ è asintotica a $ sqrt(x)/x^2= 1/x^(3/2 ) $ e quindi converge essendo $ 3/2 > 1 $ ok ?

In pratica essendo $x->+oo$ considero solo le $x$ e mi riconduco all'integrale improprio notevole $1/(x^alpha)$ ed essendo $alpha>1$ converge

Ora consideriamo quando $ x rarr 2 $.Sia numeratore che denominatore tendono a $ 0 $.
Fattorizzo il denominatore sfruttando le radici del trinomio e quindi :$ x^2-3x+2 =(x-2)(x-1) $.
Per il numeratore operiamo una specie di " razionalizzazione " moltiplicando e dividendo la frazione per $ sqrt(x+2)+2 $ ottenendo : $ ((sqrt(x+2)-2)(sqrt(x+2)+2))/((x-2)(x-1)(sqrt(x+2)+2 ) )= (x-2)/((x-2)(x-1)(sqrt(x+2)+2))=1/((x-1)(sqrt(x+2)+2)) $ che per $ x rarr 2 $ tende a $ 1/4 $ , valore finito e quindi l'integrale converge. OK ?

Qui in pratica mi vado a calcolare il limite della funzione per $x->2$ e vedo che la funzione converge.
ok più o meno ci sono, provo a fare altri esercizi simili.

e se, ad esempio in questo secondo esercizio, per $+oo$ convergesse e per $2$ divergesse(non è questo il caso, ma ammettiamo che il limite diverga), l'integrale è indeterminato, giusto?

un'altra cosa...se vedo che l'integrale si può calcolare e l'esercizio mi chiede di discutere la convergenza, è sbagliato fare il calcolo dell'integrale improprio e mostrare in quel modo se converge o meno?

[Camillo]

Esercizio 1) Non è che la $ e $ non la consideri! in realtà a numeratore hai $ e^(-x)=1/e^x $ che per $ x rarr +oo $ tende a $ 0 $ e la trascuri rispetto agli altri addendi.

Esercizio 2 )Se $ x rarr +oo $ allora $ sqrt(x+2)$ è asintotico a $sqrt (x) $ in quanto il $+2 $ che hai sotto radice e il $-2 $ che hai fuori radice non gli fanno un baffo !! di frontre a quaalcosa che va a $+oo $ !!
Per $x rarr 2 $ ho cercato di capire a cosa è asintotica la funzione integranda in un intorno di $2 $ ( con qualche trucchetto ) addirittura la funzione converge a un numero finito ; se fosse stata divergente a $oo $ bisognava vedere COME divergeva .
Se fosse stata $ 1/(x-2 ) $ allora l'integrale era divergente ; se fosse stata come $1/sqrt(x-2) $ allora l'integrale sarebbe stato convergente in quanto esponente a denominatore $=1/2 < 1 $ ok ?
Naturalwemte perché un integrale imprpio sia convergente bisogna che lo sia in entrambi gli estremi di integrazione ed anche in tutti i punti compresi nell'intervallo, se ci sono punti critici .

In genere per integrali che vengono proposti come impropri non è possibile calcolare una primitiva.
certo se è possibile la si può calcolare e vedere poi cosa risulta ; però probabilmente si è fatto più lavoro del necessario...
Bastava studiare il comportamenteo della funzione integranda nell'intorno dei punti critici e dei limiti di integrazione.
A meno che l'esercizio chiedesse : se l'integrale è convergente calcolarne il valore.

P.S. Che CdL stai facendo ?

[simo954]

ok, ho capito(almeno mi sembra...)
all'1 ho sbagliato nel confronto perchè portando $e$ al denominatore, diventava il termine predominante e perciò mi sballava tutto.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

il problema è che ho scoperto troppo tardi l'esistenza di integrali impropri notevoli, il prof negli esercizi non spiega tutto e spesso quando gli si chiedono spiegazioni usa il termine magia. come professore si vede che è preparato(anche perchè altrimenti non credo si troverebbe dov'è ora) solo che delle volte mi sembra come se fosse troppo preparato per spiegare analisi a ragazzi appena usciti dal liceo, cioè dà molte cose per scontato.

comunque sia, grazie mille per l'aiuto
farò altri esercizi e se ci fosse bisogno chiederò spiegazioni

p.s
faccio statistica

[simo954]

Senza aprire un altro topic lo scrivo qui

$ int_(-1)^(1) dx/(root(3)(1-cos(x)) $

qui l'unico problema è in $0$, quindi mi faccio un confronto asintotico in un intorno di $0$(si dice così?)
per $x->0$ posso scrivere $cos(x)$ come $1-x^2/2...$ grazie a taylor, quindi lo vado a sostituire nella radice ottenendo $ 1/(root(3)(x^2/2) $, e il limite per $x->0$ a questo punto è $0$, pertanto l'integrale diverge ($1/0$)

è giusto?

[simo954]

ripensandoci ora, è corretto nel modo in cui ho fatto prima o in quest altro?

arrivato alla stima asintotica, la vado a porre nell'integrale iniziale ed avendo l'esponente $<1$ concludo che l'integrale converge

[Camillo]

Esatto , converge perché per $x rarr 0 $ si comporta come $ 1/x^(alpha) $ con $alpha <1 $

[Camillo]

Chi volesse esercitasi sugli integrali impropri , qui ne trova alcuni.
viewtopic.php?f=36&t=147805&p=928309#p928309