Funzioni composte (teoria) Aiuto?

[Stella1992]

Salve a tutti ! Qualcuno sarebbe in grado di spiegarmi questa pagina di Analisi? Ho un esame a breve e sto impazzendo...E' una mattina che ci sbatto la testa e non riesco a capire molte cose, confido in voi!!... Vi ringrazio in anticipo!!

http://i60.tinypic.com/rswnc8.jpg

http://i62.tinypic.com/ndaija.jpg


e' soprattutto nella seconda foto che mi perdo... ad esempio.. l'immagine di g(R) come puo essere la stessa g(R)?? e z cosa sarebbe? non dovrebbe essere log2(x-1)? Perché compare solo z = x-1? quella non è y??

Con parole semplici vi prego! Sono un pò negata in questa materia...

[poll89]

allora, mi sembra che queste foto contengano solo la definizione di funzione composta ed un esempio che chiama $f(y) = log_2 y$ e $g(x) = x-1$

Allora, la definizione è semplice: diciamo che si abbia $f : D_f sub RR -> RR$ e $g: D_g sub RR -> RR$ dove i due D sono i rispettivi domini. La condizione fondamentale affinchè h sia la composta di f e g, ovvero $h = f @ g$ è che $Im(g) sub D_f$. Questo significa che tutti i valori di g(x) siano ammissibili per f.

Se ti serve una spiegazione stupida, eccola : f pesca un punto in un insieme di punti ammissibili, ovvero il suo dominio, e lo manda da qualche parte che non ci interessa. Componendo f e g, tu imponi ad f di pescare punti che sono già stati "mossi" da g, e quindi se g li ha mandati da qualche parte dove f non può prenderli, crolla tutto e degli uomini vestiti di nero verranno a rimproverarti aspramente siccome $Im(g) = {y in RR : y = g(x)}$ è il luogo dove g manda i punti che muove, se $Im(g)$ non è contenuto in $D_f$, prima o poi la f pesca un valore inammissibile. Al massimo puoi avere $Im(g) = D_f$, come avviene nel tuo esempio.

Nell'esempio, hai $D_f = RR^+ = {y in RR, y>0}$ (cioè l'insieme dei reali positivi senza lo 0) per il log, mentre $D_g = RR$. Inoltre hai anche $Im(g) = RR$; siccome non hai già in partenza $Im(g) sube D_f$, devi imporla (o pretenderla, come dice lì ) in modo che la composta abbia senso. Per imporre $Im(g) sub RR^+$ devi allora limitare il dominio di g, e per sapere come devi limitarlo risolvi la disequazione $g(x) = x - 1 > 0$. Ottieni che $text(se ) x>1, text( allora ) g(x) > 0 text( e quindi ) Im(g) sub RR^+$
ah un'ultima cosa: ho scritto un sacco di $Im(g)$ mentre nelle tue foto c'è $g(RR)$. Significano la stessa cosa.

[Stella1992]

Poll sei stato molto chiaro ti ringrazio l'unica cosa che non riesco a capire è perché prima chiama g(x) con "y" e poi inizia a chiamarla "z"... :/

[poll89]

mmm, mi pare che con y indichi un elemento generico di $D_f$, mentre con z indica un elemento di $Im(g)$. Siccome a priori non è detto che i due insiemi coincidano è giusto distinguerle.