Convergenza di una serie di funzioni

[Michele Di Guida]

Salve ragazzi, avrei bisogno di un aiuto con questa serie:
$ sum_(n=1)^oo (-1)^n(2^n+n^3)/((4x)^n)e^x $
Devo individuare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza uniforme...

Per la convergenza puntuale ho pensato di utilizzare il criterio del rapporto:
$ lim_(n->+oo) ((-1)(-1)^n(2(2^n)+(n+1)^3)/((4x)(4x)^n)e^x)/((-1)^n(2^n+n^3)/((4x)^n)e^x)=lim_(n->+oo) ((-1)2^n(2+(n+1)^3/2^n))/((4x)(2^n)(1+n^3/2^n))=-1/(2x) $

La condizione perchè la serie converga è che il valore del limite sia minore di uno, per cui:
$ -1/(2x)<1 => -1<2x => x>(-1/2) $
Quindi l'intervallo di convergenza puntuale è $ (-1/2,+oo)\\{0} $

La convergenza uniforme mi manda in tilt...
Ho provato ad utilizzare l'M test di Weierstrass, cercando un valore M sempre maggiore del modulo dell'argomento della serie... Ma facendo la derivata dell'argomento e ponendolo uguale a zero mi viene x=n la cui serie non converge... Come potrei procedere?

[poll89]

Attento, il criterio del rapporto vale solamente per serie numeriche a termini positivi e ciò non accade con questa serie, chiaramente
Io direi di partire con la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica, ovvero $(2^n+n^3)/((4x)^n) ->0$. Dato che $(2^n+n^3)/((4x)^n) ~ 2^n/(4x)^n = (1/(2x))^n$, devi chiedere $1/(2x) < 1, => x > 1/2$

Ora, con questa condizione sono soddisfatte le ipotesi per il criterio di Leibnitz, quindi la condizione necessaria è anche sufficiente e si ha convergenza puntuale su $(1/2, +oo)$

Per calcolarne la somma direi di passare alla sua cugina con il modulo ed usare il criterio asintotico. Più correttamente, studi $ sum_(n=1)^oo |(-1)^n(2^n+n^3)/((4x)^n)e^x | = sum_(n=1)^oo (2^n+n^3)/((4x)^n)e^x $ dato che $x>1/2$ (e quindi tutti i termini eccetto il segno oscillante sono positivi), poi osservi che $(2^n+n^3)/((4x)^n)e^x ~ (1/(2x))^n e^x $ e quindi, in conclusione, hai $ sum_(n=1)^oo (2^n+n^3)/((4x)^n)e^x text( ~ ) e^x sum_(n=1)^oo (1/(2x))^n$ che è la serie geometrica di ragione $1/(2x) <1$ (coincidenze?!?) e dunque vale $1/(1-(1/(2x))) = (2x)/(2x-1)$. Infine non dimentichiamoci del povero $e^x$ fuori alla porta

Se dunque non ho detto una marea di michiate (sempre possibile eh, specie oggi che sto male) la convergenza puntuale avviene a $f(x) := (2x)/(2x-1) e^x$ nell'intervallo $I := (1/2,+infty)$, che oltretutto rientra nel dominio di f. Rassicurante, magari non ho cannato
Lascio a te fare considerazioni sulla convergenza uniforme, almeno finchè non starò meglio e potrò riguardarle. Ti ricordo che la serie converge uniformemente ad f sse $||f_n - f||_(infty, I) := text(sup)_(x in I){f_n(x) - f(x)} ->0 text( per ) n->+infty$

[Michele Di Guida]

Per la convergenza uniforme posso sfruttare Leibniz e dire che $ sup {|s(x)-s_n(x)|}<= sup {|a_(n+1)|} $ ?
Possibile che ci sia Convergenza uniforme in $ [1,+oo) $ ?

[Michele Di Guida]

Non so perché ma avevo digitato sup ed è uscito il simbolo di inclusione

[Michele Di Guida]

Se tirassi fuori e^x ponessi 1/4x=t e la trattassi come serie di potenze?

[maximus24]

ti posto il mio ragionamento ad occhio:

allora per la convergenza puntuale, ho ragionato con \(\displaystyle x=0 \) (che, dalla traccia, puoi subito vedere che viene meno) e \(\displaystyle |x| \) diverso da zero.

Allora, per \(\displaystyle x=0 \), come puoi ben capire, non v'è nulla, quindi puoi benissimo dire che lì non converge.
Per |x| diverso da zero, puoi agire in questo modo: o analizzi le serie oscillanti in \(\displaystyle x>0 \) e \(\displaystyle x<0 \) giungendo alla conclusione che convergono puntualmente in \(\displaystyle (-\infty, - \frac{1}{2}) U (\frac {1}{2}, \infty) \), oppure passi alla convergenza assoluta riducendo la serie di partenza ad una serie di potenze, di cui calcoli il raggio di convergenza e trovi il cerchio di convergenza relativo (in \(\displaystyle x \) = più o meno \(\displaystyle \frac {1}{2} \)non converge, come puoi verificare);

Detto questo, quindi, puoi passare a trovare la convergenza uniforme con i metodi che conosci, se anche qui hai difficoltà, non esitare a chiedere (puoi sfruttare il ragionamento fatto con la convergenza assoluta, tentando di trovare quella totale da cui poi puoi discernere quella uniforme, o in altri modi!)

[Michele Di Guida]

Penso di poter svolgere l'esercizio in questo modo:
$ e^xsum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(2^n+n^3)/(4x)^n $
Naturalmente devo imporre che $ x!=0 $ ;
Dopoiché pongo $ 1/(4x)=t $ e la serie diventa $ e^xsum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(2^n+n^3)(t)^n $;
Uso D'Alembert:
$ lim_(n->+oo) |((-1)^n(-1)(2^n2+(n+1)^3))/((-1)^n(2^n+n^3))|=R^-1 $
Da qui deduco che $ R^-1=2 => R=1/2 $
$ -1/2<1/(4x)<1/2 $
e quindi $ x>1/2,x<-1/2 $
Già posso dire che la serie converge uniformemente in ogni insieme compatto incluso in $ (-oo,-1/2) $ e in ogni insieme compatto incluso in $ (1/2, +oo) $
Devo controllare gli estremi:
per $ x=1/2 $ la serie diventa $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(2^n+n^3)/(2)^n$
il limite del termine generale non esiste, per cui la serie e' indeterminata;
per $ x=-1/2 $ la serie diventa $ sum_(n=1)^(+oo) ((-1)^n(2^n+n^3)/((-1)^n2^n))(1/sqrte) $
in questo caso li limite del termine generale fa $ 1/sqrte $, la serie non converge;
Quindi ottengo convergenza uniforme in ogni intervallo [a,b] contenuto in (-oo,-1/2), e in ogni intervallo [c,d] contenuto in (1/2,+oo)
E' corretto così?

[maximus24]

mi hai fatto anche notare che la serie può essere scritta anche nella seguente forma \(\displaystyle e^{x} \sum (2^{n} +n^{3})( \frac{-1}{4x})^{n} \), ha più senso definire questa come serie di potenze, comunque sì, a me sembra corretto; attendo gli altri, vediamo cosa dicono, purtroppo non sono un luminare

[maximus24]

ah, inoltre hai fatto ragionamenti moooolto lunghi per trovare il raggio di convergenza, col criterio della radice, sempre ad occhio, riesci a dire che quel \(\displaystyle 2^{n} \) ti permette di arrivare a \(\displaystyle \frac {1}{2} \).

e ricorda che quando passi al modulo, quel \(\displaystyle (-1)^{n} \) viene meno, altrimenti te lo porti sempre appresso e fidati che in condizioni di stress, come ad un esame, può capitare di confondere un po' tutto