dubbio studio carattere serie numeriche

[maximus24]

per il secondo basta utilizzare leibniz, esatto: vedi che al tendere di n a \(\displaystyle + \infty \), il limite va a zero (ed è la prima condizione), poi è semplice vedere, come hai infatti scritto, che è decrescente (seconda condizione): detto questo, puoi dire che converge secondo leibniz.

per la terza, com'era già stato suggerito prima, puoi passare al modulo, quindi tentare la strada della convergenza assoluta: con le disuguaglianze che sicuramente conosci, riesci a provare che quella converge assolutamente

[hero_94]

le condizioni mi son chiare, quello che volevo capire è se il procedimento da me usato è corretto, cioè usare prima il criterio del confronto asintotico e poi con la nuova a_n imporre la condizione e dire che questa converge come la serie di partenza... ecco il mio dubbio
per il terzo ex ho trovato più immediato usare leibniz, asintoticamente dico che il coseno è uguale a un numero finito e la situazione mi si semplifica

[maximus24]

ho fatto un altro ex questo $ sum_(n=1) (-1)^n n/(n^2-lg(n)) $

limite = 0

poi $ a_n > a_(n+1) $ quindi $ a_(n+1) = [-n^2-lgn+1]/[n^4+(lg(n))^2-2n^2lgn] $

asintoticamente la trasformo in $ -n^2/n^4 $ il meno lo caccio fuori dalla serie, semplifico ed esce $ 1/n^2 $ che equivale ad una serie armonia quindi converge... ho cannato da qualche parte?

il limite tende a zero, è sicuramente decrescente, sì converge per leibniz

[maximus24]

le condizioni mi son chiare, quello che volevo capire è se il procedimento da me usato è corretto, cioè usare prima il criterio del confronto asintotico e poi con la nuova a_n imporre la condizione e dire che questa converge come la serie di partenza... ecco il mio dubbio
per il terzo ex ho trovato più immediato usare leibniz, asintoticamente dico che il coseno è uguale a un numero finito e la situazione mi si semplifica

mi sono un attimo perso nella domanda: se usi il criterio di leibniz, a che serve ricondurti al criterio del confronto asintotico?

[hero_94]

mmm... giusto, credo di essermi sbagliato nel esprimermi
in realtà è stata più una semplificazione... il seno e coseno mi danno fastidio ma essendo alla fine dei numeri finiti che vanno da 1 a -1 e cerco di trasformarli in tali... solo che credo che il procedimento non sia esatto

[maximus24]

mmm... giusto, credo di essermi sbagliato nel esprimermi
in realtà è stata più una semplificazione... il seno e coseno mi danno fastidio ma essendo alla fine dei numeri finiti che vanno da 1 a -1 e cerco di trasformarli in tali... solo che credo che il procedimento non sia esatto

Questo ragionamento puoi farlo lecitamente quando ragioni in termini di valore assoluto, quindi convergenza assoluta che ovvia al criterio di Leibniz, perché sai che modulo di seno e coseno sono minori o uguali di uno

[hero_94]

salve ragazzi, ho giusto qualche dubbio, mi serve una verifica veloce

$ Sigma_(n = 1)^(+oo) (-1)^n(2n+1)/(n^2+1) $

col criterio del rapporto l'integrale esce 1, quindi nisba
la convergenza non è assoluta, ma lo si capisce facilmente anche sostituendo a n qualche valore
col leibniz arrivo alla fine a questo termine

$ 2n^3+3n^2+2n+3<2n^3+5n^2+6n+2 $

ovviamente la diseguaglianza è veritiera e si vede ad occhio nudo quindi per il criterio di leibniz posso dire che la serie converge, giusto?

al momento dell'esame non so per quale motivo non son riuscito a risolverlo, ora invece fatto con calma a casa mi sembra assai banale ecco il motivo di questa insicurezza

[hero_94]

giusto per togliermi ogni dubbio

sommatoria di $ (-1)^n (n!)/(n^n+n^3) $

con leibniz l'integrale è uguale a 0
la diseguaglianza alla fine esce

$ 1/[(n+1)^(n+1)+(n+1)^2]<1/(n^n+n^3) $

chiaramente il primo termine ha un denominatore più grande del secondo e quindi è più piccolo, per leibniz la serie converge, giusto?